《与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、图形与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法本文在证明性质中用到了直线方程的三种设法：设斜率法，设斜率倒数法和参数法，有些证明还用到几何法和代数法定理及证明一、抛物线的焦点弦的点的坐标的性质若AB是抛物线y2二2px（p0）的焦点弦（过焦点的弦）,且 A(x,y)， B(x,y)，贝U： xx =p， yy =-p.112 21 241 2两种证法比较: 证法一：斜率设法（y二k（x-匕）需要讨论，比较复杂;2证法二：斜率倒数（xx= y + f）设法比较简单证法一：因为焦点坐标为卩（p ,0）,当AB不垂直于X轴时,2可设直线AB的方程为：y二k（x-），显然k丰0 .2y = k (x
2、- -p)得：ky 2 - 2 py - kp 2 = 0,(这种设法下，要注 y 2 = 2 px意把x二鳥代入直线，这样消元比较简单，可以叫做以曲代直，即把曲线代入直线）yy =- p 2，xx =半匸=上=巴1 21 2 2 p 2 p 4 p 2 4当AB丄x轴时，直线AB方程为x = p，则y = p , y =-p，212y1打=-p2，同上也有：x2 =罟证法二：因为焦点坐标为卩（彳，0）当AB平行于乂轴时，不合题意，所以可设直线AB的方程为：x= y +匕,2联立 y2 = 2pXp 0)得：y =2p(1+ k2) = 2p(1+ tan2 a) = 2P k2 易验证，结论
3、对斜率不存在时也成立. = 2p (九 y + ),艮卩 y 2 - 2 p九 y - p 2 = 0 ,y2 y 2 p注意：AB为通径时，a = 90 ， sin 2a的值最大，AB |最小.p2.y y = p 2 , X X = -=-.=、:1 + 0)，得(t sina)2 = 2p(p+t cosa),f0)焦点F，求证:1 + 1为定值.IaF Ibf证法一：先利用定义设A(x , y ), B(x , y )，由抛物线的定义知：AF =1 1 2 2|BF =，又 |AF| + |BF|=| AB|,所以 x + x = AB - p，且由结论一知:xx1 24则:1 aF+
4、bFaB|aB|aF bF |aF-|bF|aB=IAB =2 (常数)专+2 (AB - p) + 专 2 TAB p证法二：利用直线参数方程因为焦点坐标为F（彳，0）,所以可设直线AB的参数方程为:px = +1 cos a2y = t sin a代入y =2吨0），得T =2朋+t即(siu a)t2 (2pcosx)t - p = 0,A = 4p2 cos2 a + 4p2 sin2 a = 4p2,所以 t = 2pcosa 2p = p(coa1)2sin2 asin2 ap(cosa+l) p(cosa-l)sin2 asin2 asin2 a(1pcos a +1 cos a
5、 -1sin 2 a22p cos2 a 1 p本题有几何解释，读者思考（提示：用比例线段）四、原点0(0,0)处的三点共线过F( ,0)任作直线交抛物线y2 = 2px(p 0)于A、B , 2过A、B分别作准线x=-彳的垂线，垂足为A1、B1,O为坐标原点，则A、O、B三点共线，A、O、B三点共1 1线.证法一：(几何法)连结AB交x轴于O点，由已知1 1AA1 FK BB，由抛物线定义AA = AF, BB = BF,于是1 1 1O FBBBFB KO KO Kr1 =1 =F = L = L，所以 OF = OK，即 O 为KFFABABABAAAFA1111 11的中点，即O与O重
6、合所以A、O、B三点共线,1 1同理可证A、O、B三点共线.1证法二：(代数法)设直线AB的方程为x鼻y+彳,联立 y2 = 2px得 y2 -2p九y-p2 = 0，显然 A0 ,设 A(x1, y1), B(x2, y2)，则 y1y2=-p2，又 B1(- f , y2)，1 2所以k =器=2, k =丄,所以k = k ,OA x yOBp yOA OB11-i 1所以A、O、B三点共线,1同理可证A、O、B三点共线.1五、点K(P,0)处的角平分线：过F(P ,0)任作直线交抛物线y2 = 2px(p 0)于A, B ,点 K(-p,0)为定点， 则 ZAKF = ZBKF .证法
7、一：(几何法)过A、B分别作准线x = -f的垂线,垂足为A、B，延长BB交AK的延长线于B ，1 1 1 2由 AA FK BB 及 AA = AF, BB = BF,1 11 1何 BB BF BK BB BBT得: 1 1 12 12 ,AF FA KA AA AF1 1所以BB BB，又BK丄BB ,1 1 2 1 2所以 ZB KB ZBKB2 1 1又 ZB KB +ZAKF 90 ,2 1OZBKB + ZBKF 90 ,所以 ZAKF ZBKF .1O证法二：(代数法)设AB的方程为：x-九y + ，联立y2 2px得 y2 - 2p九y 一 p2 0，显然 A0，设 A(x
8、, y ), B(x , y ),1 1 2 2则 y y -p2，又k,0)，所以1 2 2K , Ky , yy , yKAKBppy 2py 2px += x +* 鼻+工 鼻+ 12222p22 p22py2 py112y 2 + p 2 y 2 + p 2 1 2+_2py 2p + 2p o，所以k -k，y2 - y y y2 - y y y - y y - yKAKB1 1 2 2 1 2 1 2 2 1所以KA、KB的倾斜角互补，所以ZAKF ZBKF .六、点F(,0)处的垂线：2过F( ,0)任作直线交抛物线y2 2px(p 0)于A、B，过A、B分别作准线x -p的垂线
9、，垂足为A、B，2 1 1则AF丄BF.1 1证法一：(代数法)设AB的方程为：x -九y + 2，联立 y2 2px 得 y2 - 2p九 y - p2 0，显然 A0，设 A(x , y ),B(x , y )，1 1 2 2贝 9 y y - p2，1 2二、抛物线焦点弦长公式若AB是抛物线y2二2pXp0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角 为a，则 |AB |= 2 P(aHO).sin 2 a证法一：设直线的点斜式，要讨论(1)设 A(x , y )， B(x , y )，设直线 AB: y = k(x一 )11 2 2 2y = k(x +)得：，ky2 2py kp2 二 0 y 2 = 2 pxy + y =字，yy =p2,12 k * 1 2lkl
