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1、-分式函数的图像与性质学习过程1、分式函数的概念形如的函数称为分式函数。如，等。2、分式复合函数形如的函数称为分式复合函数。如，等。学习探究探究任务一：函数的图像与性质问题1：的图像是怎样的？例1、画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】，即函数的图像可以经由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：由此可以画出函数的图像，如下：单调减区间：；值域：；对称中心：。【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“别离常数的处理方法。分式函数的图像与性质1定义
2、域：；2值域：；3单调性：单调区间为；4渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；5奇偶性：当时为奇函数；6图象：如下图问题2：的图像是怎样的？例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性此点不作要求，关键点坐标最值点、与坐标轴交点、辅助线对称轴、渐近线。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。解：函数的定义域为：；根据单调性定义，可以求出的单调区间增区间：减区间：函数的值域为：函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：函数的图像如下：【反思】如何绘制陌生函数的图
3、像？研究新函数性质应从哪些方面入手？【小结】分式函数的图像与性质：1定义域：；2值域：；3奇偶性：奇函数；4单调性：在区间上是增函数，在区间上为减函数；5渐近线：以轴和直线为渐近线；6图象：如右图所示例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】结合刚刚的绘图经历，不难绘制出的图像解：函数的定义域为：；根据单调性定义，可以判断出的单调性，单调增区间为：. z.-函数的值域为：函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：函数的图像如下：【反思】结合刚刚的两个例子，与的图像又是怎样的呢？思考与的图像是怎样的呢？的图像呢？函数的图像如下，绘制的过程可以根据刚刚的绘图经
4、历。【注】，由于与的图像关于轴对称，所以还可以根据的图像，对称的画出的图像。同样的道理的图像与的图像关于轴对称，所以图像如下：. z.-【小结】的图像如下：i (ii) (iii) . z.-(iv) 来源:学+科+网Z+*+*+K的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。探究任务二：函数的图像与性质问题3：函数的图像是怎样的？单调区间如何？【分析】所以的图像与的图像形状完全一样，只是位置不同。图像的对称中心为：单调增区间为：单调减区间为：值域：图像如下：. z.-【反思】函数的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？【小结】对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数
5、表达式写成局部分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子确保分子不为0，再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：二次分式函数具有形式.我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.1. 定义域和有界性,设 .则函数定义域 .当.此时函数无界.当,函数有界且为常值函数(很少遇到的情况,比方 ).所以通常当 ,二次分式函数是无界的.是函数的渐近线.当,函数定义域为 .函数有界.2. 单调性,极值,值域当,可以将函数化为 .对于值域中的每一个y,方程都有实数
6、解, .这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入函数解出 ,计算可能有点慢.下文会给出一个简便的计算方法. ,根据极值与的大小即可判断单调区间.这种情况最多有三个单调区间.当,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出 .出现这种情况,求解和 .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分式值域.比方别离变量和换元再用根本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子. .首先定义域解得 .别离分子中的二次项得 . .代入得函数值域根据,可判断出单调区间共有5个单调区间顺便再算一下函数零点有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像. z.
