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1、指数函数及其性质【学习目标】1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；2.掌握指数函数图象：(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；(2)掌握底数对指数函数图象的影响；(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a
2、x(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a0且a1)的函数才是指数函数像，等函数都不是指数函数（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：如果，则如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在如果，则是个常量，就没研究的必要了要点二、指数函数的图象及性质：y=ax0a1时图象图象性质定义域R，值域 （0，+）a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点ax=a，即x=1时，y等于底数a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数x1x0时，0ax1x0时，0ax0时，ax1 既不是奇函数，也不是
3、偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。（2）当时，；当时。当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。（3）指数函数与的图象关于轴对称。要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1） 则：0ba1dc又即：x(0,+)时， （底大幂大） x(,0)时，（2）特殊函数的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若；当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可【典型例题】类型
4、一、指数函数的概念例1函数是指数函数，求的值【答案】2【解析】由是指数函数，可得解得，所以【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数其中（6）=，符合指数函数的定义，而（2）中底数不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数的乘积；（4）中底数，所以不是指数函数类型二、函数的定义域、值域例2求下列函数的定义域、
5、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)【答案】（1）R，(0，1)；（2）R )；（3） ；（4）(-，-1)1，+) 1，a)(a，+)【解析】(1)函数的定义域为R (对一切xR，3x-1). ，又 3x0， 1+3x1， ， ， ， 值域为(0，1).(2)定义域为R， 2x0， 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数， 值域为).(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.(4) 定义域为(-，-1)1，+)，又 ， ， 值域为1，a)(a，+).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中
6、值域切记不要漏掉y0的条件，第(4)小题中不能遗漏.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1) (2)(3) (4)【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a1时，；0a1时，；0a1时，外层函数y=au在上为增函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数上为减函数，在区间上为增函数；当0a1时，外层函数y=au在上为减函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.例4证明函数在定义域上为增函数.【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。【解析】定义域为xR，任取x11， x1x2， ， ， f(x1)1且x2
7、-x10， .【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.例5判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2) (3)22.5，(2.5)0， (4)【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。【答案】（1）1.8a1时，当0a1，所以函数y=1.8x为单调增函数，又因为aa+1，所以1.8a1时，当0a1时，【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写；(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”).举一反三：【变
8、式1】比较大小：(1)22.1与22.3 (2)3.53与3.23 (3)0.9-0.3与1.1-0.1 (4)0.90.3与0.70.4 (5).【解析】(1)22.122.3(2)3.533.23.观察两函数值，底数不同，而指数不变不是指数函数，而是y=x3，它为增函数.(3)由0.9-0.3，00.91， -0.31， 1.11， -0.1001.1-0.11.1-0.1；(4)由指数函数图象相对位置关系数形结合，0.90.30.70.4.(5)，又函数为减函数， ，为增函数，时，y1，.另解：幂函数为增函数，则有，(下略).【高清课堂：指数函数 369066 例1】【变式2】利用函数的
9、性质比较，【答案】【解析】= 作出的图象知 所以【变式3】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.【答案】【解析】先比较的大小.由于底数(0，1)， 在R上是减函数， ， ，再考虑指数函数y=1.3x， 由于1.31， 所以y=1.3x在R上为增函数1.30.71.30=1， .【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.例6. (分类讨论指数函
10、数的单调性)化简：【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对进行分类讨论，去掉绝对值。【解析】举一反三：【变式1】如果（，且），求的取值范围【答案】当时，；当时，【解析】（1）当时，由于，解得（2）当时，由于，解得综上所述，的取值范围是：当时，；当时，类型四、判断函数的奇偶性例7判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)【答案】偶函数【解析】f(x)定义域关于原点对称(定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，令，则 g(x)为奇函数， 又 为奇函数， f(x)为偶函数.【总结升华】求的奇偶性，可以先判断与的奇偶性，然后在根据奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，得出的奇偶性举一反三：【变式1】判断函数的奇偶性：.【答案】偶函数【解析】定
