匀速圆周运动典型例题

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1、“匀速圆周运动”的典型例题【例1】如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动.A、B、C三轮的半径大小的关系是 RA=RC=2RB .当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边 缘的向心加速度大小之比分别为多少？【分析】皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等， 也就是说，用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等.根据这个特点，结合线速度、 角速度、向心加速度的公式即可得解.【解】由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v.由v=3R 得两轮角速度大小的关系3B ：3C=RC : RB=2 : 1.因A、B两轮同

2、轴转动，角速度相等，即3a=3b，所以A、B、C三轮角速度之比coA ：B ：C=2 ： 2 ： 1.因A轮边缘的线速度vA= o ARA=2 o BRB=2vB，所以A、B、C三轮边缘线速度之比vA ： vB ： vC=2 ： 1 ： 1.根据向心加速度公式a=o2R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比U如：叱二辑广叽时心=8 ： 4 ： 2=4 ： 2 ： 1.【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动.在圆盘上放置一木块， 当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么A. 木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心B. 木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心C

3、. 因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相 同D. 因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方 向相反E. 因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力0o 4-3【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速 度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力一一向心力.以木块为研究对象进行受力分析：在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平衡状 态.在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的 摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动.所以，这

4、个摩擦力的方向必沿半径指向中心 【答】B.【说明】常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反，木块随圆盘 一起匀速转动时，时时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动 趋势方向相反，似乎应该选D.这是一种极普遍的错误认识，其原因是忘记了研究运动时所 相对的参照系.通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势，是指以地球为参照系而 言的.而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反，应该是指相互接触的两个相关物 体来说的，即是对盘面参照系.也就是说，对站在盘上跟盘一起转动的观察者，木块时刻有 沿半径向外滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向

5、中心【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同.A的 质量为2m，B、C各为m. A、B离转轴均为r，C为2r.贝A. 若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大B. 若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小C. 当转台转速增加时，C最先发生滑动D. 当转台转速继续增加时，A比B先滑动【分析】A、B、C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为 3 .根据向心加速度的公式an=3 2r，已知rA=rBrC，所以三物体向心加速度的大小关系 为 aA=aBaC.A错.三物体随转台一起转动时，由转台的

6、静摩擦力提供向心力，即f=Fn=m32r，所以三物体受 到的静摩擦力的大小分别为fA=mA 3 2rA=2m 3 2r，fB=mB 3 2rB=m 3 2r，fC=mc 3 2rc =m 3 2 2r=2m 3 2r.即物体B所受静摩擦力最小.B正确.由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为u，静摩擦力的最大值可 认为是 fm=umg.由 fm=Fn， 即Rmg 二 mS *得不发生滑动的最大角速度为1X1皿即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小.由于rCrA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动.转速继续增加时， 物体A、B将同时发生滑动

7、.C正确，D错.【答】B、C.【例4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距L0=0.1m.长L=1m的柔软细 线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球.小球的初始位置在AB连线上A的一侧.把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动.由于 钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上.A E0UIL*若细线能承受的最大张力Tm=7N,则从开始运动到细线断裂历时多长?【分析】小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径会逐渐变小，但小 球转动的线速度大小保持不变.【解】小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张 力T

8、不断增大，每转半圈的时间t不断减小.在第一个半圆内T在第二个半圆内马在第三个半圆内匚在第n个半圆内L =兀LV2 兀(L LQ=m占=(L-Lo) 2 v/H(L-2L0)=皿产一v2v _ L-fa-l)L0 m L-(ii -1)LO n V令Tn=Tm=7N，得n=8，所以经历的时间为t =上十勺+虹(nL-l + 2 + 3+- + Cn-1)苑),nnfti -n=nL-当LJ,=牛咨_.皿，Rg.为.【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性.通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答 结果的通式（一般表达式）有很重要的意义.对本题，还应该熟练掌握数列求和方法.如果题中的细线始终不会断裂

9、，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到细线完全绕 在A、B两钉子上，共需多少时间？【例5】如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角 为2。，当圆锥和球一起以角速度3匀速转动时，球压紧锥面.此时绳的张力是多少？若 要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？ie【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向 心力，在竖直方向则合外力为零。由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。图【解】对小球进行受力分析如图(b)所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有T sin。-N cos。=m 2r y方向上应有N sin。+T cos。

10、-G=0 . r = L sin 9 由、式可得T = mgcos 9 +m 3 2Lsin 9当小球刚好离开锥面时N=0 (临界条件)则有 Tsin 9 =m3 2r T cos 9 -G=0 由、（5）式可得3 = CZZ yL cos w 即小球的角速度至少为，乒 VLcqs y【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立 xoy直角坐标，然后沿x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程，其中一个方程是向 心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。【例6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯 子在竖直面上做圆周运动，

11、在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。当水杯在最低点时， 水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由 重力和杯底的压力共同提供。只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最 高点时，水就不会流下来。【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律可知；y ,此时重力G与N的合力充当了向心力,即F向=G + N.G + N=m y由上式可知E,当N = 0时，w有最小值为感.即若使本不掉下来，则本杯在最高点的速度u必须大于屋.【例7】如下图所示，自行车和人的总

12、质量为M，在一水平地面运动.若自行车以速度v转 过半径为R的弯道.（1）求自行车的倾角应多大？（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？【分析】骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜.从图中可知，当骑车人拐弯而使身体偏 离竖直方向a角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的合力Q通过共同的质心0,合力 Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力.【解】(1)由图可知，向心力F=Mgtga，由牛顿第二定律有：mgtgCl = m= tg-R酬(2)由图可知，向心力F可看做合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的静摩擦力 f和支持力N的合力，所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F,即f = Mg

13、tg a【例8】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A，L1和L2的另 两端点分别系在一竖直杆的01，02处，已知O1O2=5m如下图(g=10ms-2)(1) 当竖直杆以的角速度3匀速转动时，02A线刚好伸直且不受拉力.求此时角速度3 1.(2) 当01A线所受力为100N时，求此时的角速度3 2.(j【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时， 所受拉力就不同。【解】(1)当02A线刚伸直而不受力时，受力如图所示。贝F1cos 9 =mg Flsin 9 =mR 12 由式(1)赭=j唯由几何知识知RT：-0A = R，且-

14、= 4,q- = 3?in ycos .R=2.4m 9=37代入式 3 1=1.77 (rad/s) (2)当O1A受力为100N时，由(1)式Flcos 9 =100X0.8=80 (N)mg由此知O2A受拉力F2。则对A受力分析得F1cos 9 -F2sin 9 -mg=0 F1sin 9 +F2cos 9 = mR 3 22 由式(4)(5)得_ cqs2 6 - mg + 耳 sin 2_ 100X Q.64-2QX Q.8 +100 x 0.6_2X 2.4=474(rad / s)【说明】向心力是一种效果力，在本题中O2A受力与否决定于物体A做圆周运动时角速度 的临界值.在这种题

15、目中找好临界值是关键.例9一辆实验小车可沿水平地面(图中纸面)上的长直轨道匀速向右运动，有一台发出细 光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离MN为d=10m,如图所示。转台匀速转动， 使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s，光束转动方向如图箭头所示。当光束 与MN的夹角为45时，光束正好射到小车上，如果再经过 t=2.5s光束又射到小车上， 则小车的速度为多少？(结果保留二位数字)分析激光器扫描一周的时间T=60s,那么光束在 t=2.5s时间内转过的角度. At冬田=X 36/ =15激光束在竖直平面内的匀速转动，但在水平方向上光点的扫描速度是变化的，这个速度是沿 经向方向速度与沿切向方向速度的合速度。当小车正向N点接近时，在内光束与MN的夹角由45变为30= u切 / cos小 a八 昨随着0减小，v扫在减小若45时