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1、北 京 四 中 撰稿：安东明编审：安东明责编：辛文升 本周重点：圆锥曲线的定义及应用 本周难点：圆锥曲线的综合应用 本周内容： 一、圆锥曲线的定义 1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即P|PF1|-|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。 1.椭
2、圆：+=1（ab0）或+=1（ab0）（其中，a2=b2+c2） 2.双曲线：-=1（a0, b0）或-=1（a0, b0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=2px（p0），x2=2py（p0）三、圆锥曲线的性质 1.椭圆：+=1（ab0） （1）范围：|x|a，|y|b（2）顶点：(a,0)，(0,b) （3）焦点：(c,0) （4）离心率：e=(0,1) （5）准线：x=2.双曲线：-=1（a0, b0） （1）范围：|x|a, yR （2）顶点：(a,0) （3）焦点：(c,0) （4）离心率：e=(1,+) （5）准线：x=（6）渐近线：y=x3.抛物线：y2=2px(p0)
3、 （1）范围：x0, yR （2）顶点：（0,0） （3）焦点：（,0） （4）离心率：e=1 （5）准线：x=-四、例题选讲： 例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是_。 解：由题：2b=2，b=1，a=2，c=，则椭圆中心到准线的距离：=。 注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。 例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=_。 解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2=m=8。 （2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2=m=2。 注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没
4、有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。 例3.如图：椭圆+=1（ab0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1x轴，且PO/AB，求椭圆的离心率e。 解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a, PF1x轴， |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2， 即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2, |PF1|=。 PO/AB， PF1OBOA, = c=ba=c, e=。 又解， PF1x轴， 设P(-c, y)。 由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=, 由上解中PF1OBOA，得到b=ce=。
5、 例4.已知F1，F2为椭圆+=1的焦点，P为椭圆上一点，且F1PF2=，求F1PF2的面积。 分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S=absinC。 解法一：S=|PF1|PF2|sin |PF1|+|PF2|=2a=20，436=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos，即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|=436，|PF1|PF2|= S=。 解法二：S=|F1F2|yP|=12yP=6|yP|，由第二定义：=e|PF1|=a+exP=10+xP，由第一定义：|PF2|=
6、2a-|PF1|=10-xP，4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos，144=100+=， =64(1-)=64，S=6|yP|=6=。 注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。 例5.椭圆+=1 的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，求：|PF1|，|PF2|。 分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF1|，|PF2|的表达式写出来，再求解。 解：如图，O为F1F2中点，PF1中点在y轴上，PF2/y轴，PF2x轴， 由第一定义：|PF1|+|PF
7、2|=2a=4，|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2， (|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=49=36，。 例6.椭圆：+=1内一点A（2，2），F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF1|的最值。 解：|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|AF2|+10=2+10， |PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)10-|AF2|=10-2。 注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 例7.已知：P为双曲线-=1（a0, b0）上一点，F1，F2为焦点，A
8、1，A2为其顶点。求证：以PF1为直径的圆与以A1，A2为直径的圆相切。 证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF1中点为O, A1A2中点为O， |OO|=|PF2|，圆O半径为|A1A2|，圆O半径为|PF1| 由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2| |PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO| 两个圆相内切。 注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。 例8.已知：过抛物线y2=2px(p0)焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点。求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。 证明：由定义知，如图：|PP|=|PF|, |QQ|=|QF| |PQ|=|PP|+|QQ|，|PQ|=(|P
9、P|+|QQ|)，故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。 五、课后练习1. 椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点连线互相垂直，则PF1F2的面积为（） A、20B、22C、28D、24 2. 若点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为，则a+b=() A、-B、C、-2D、2 3. 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是（） A、y2=16x或x2=16y B、y2=16x或x2=-16y C、x2=-12y或y2=16xD、x2=16y或y2=-12x 4. 已知：椭圆+=1（ab0）上两点P、Q，O为原点，OPOQ，求证：+为定值。 六、练习答案： 1. D 2. B 3. C 4. 设P(|OP|cos, |OP|sin), Q(|OQ|cos(+90), |OQ|sin(+90)，利用两点距离公式及三角公式，+=。
