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1、高一数学集合间的基本关系的知识点1.1.2 集合间的基本关系1. Venn 图在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.比如，中国的直辖市组成的集合为 A,用Venn图表示如图所示.【例1试用Venn图表示集合A=x|x2-16=0.解：集合A是方程x2-16=0的解集，解方程x2-16=0,得x1=4, x2=-4 ，所以 A=-4,4 ，用 Venn 图表示如图所示.对 Venn 图的理解 Venn 图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制 .2. 子集定义一般地，对于两个集合 A, B,如果集合A中任意一个元素 都是集合 B 中的元素，我们
2、就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.记法与读法记作AB(或BA),读作“A含于B”(或“B包含A”).图示 或示例具有北京市东城区户口的人组成集合M具有北京市户口的人组成集合P,由于任意一个具有北京市东城区户口的人都具有北 京市户口，所以有MP结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即 AA.(2)对于集合A, B, C,若AB,且BQ则AC.对子集的理解“AB的含义：若xA就能推出xB.(2)集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A 可能是空集，也可能是集合B.(3)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含 于B,或B不包含A.
3、此时记作AB或BA.(4) 注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如0N,而不能写成0N; 只能用于元素与集合之间，如 0N, 而不能写成0N.【例2-1已知集合M=0,1,集合N=0,2,1-m,若MN则实 数 m=.解析：由题意知MN又集合M=0,1,因此1N,即1-m=1.故 m=0.答案： 0【例 2-2已知集合 M=xZ|-iwx3, N=x|x=|y| , yM,试判 断集合M， N 的关系 .解：.xZ,且-iwx3, .x的可能取值为-1,0,1,2. .M=-1,0,1,2.又yM, .|y| 分别是 0,1,2. N=0,1,2. .NM.3. 集合相等如果集
4、合A是集合B的子集(AB),且集合B是集合A的子集(BA), 那么集合A与集合B相等，记作A=B.用Venn图表示如图所示.对集合相等的理解(1)A=BAB,且BA,这是证明两个集合相等的 重要依据 ;(2) 集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等 ;(3) 同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在 ;(4) 集合中的关系与实数中的结论类比实数集合ab包含两层含义：a=b,或aA.P=1,4,7 ， Q=1,4,6B.P=x|2x+2=0 ， Q=-1C.3P,3QD.PQ解析：对于A项，7P
5、,而7Q故P* Q；对于B项， P=x|2x+2=0=-1=Q;对于 C项，由 3P,3Q,不能确定 PQ Q国否 同时成立；对于D项，仅由PQ无法确定P与Q是否相等.答案： B【例3-2】设集合A=x, y, B=0, x2,若A=R求实数x, y 的值 .解：由集合相等的定义，得或(1)由得x=0, y=0,不满足集合中元素的互异性，故舍去；(2)由得 x=0, y=0 或 x=1, y=0,由(1)知 x=0, y=0 应舍去，x=1, y=0 符合集合中元素的互异性 .综上，可得x=1， y=0.4. 真子集定义如果集合AB,但存在元素xB,且xA,我们称集合A是集合 B的真子集.记法
6、记作AB(或BA).图示结论(1)AB且BQ则AC;(2)AB且A? B,则AB.对真子集的理解(1)若集合A是集合B的 子集，则集合A中所有元素都属于集合B,并且集合B中至少有一 个元素不属于集合A;(2) 子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的.若集合A不是集合B的子集，则集合A一定不是集合B的真子 集;(3) 与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集 .【例4】已知集合P=2012,2013 ， Q=2011,2012， 2013， 2014 ，则有 ()A.P=QB.QPC.PQD.QP解析：很明显，集合P中的元素都属于集合 Q则PQ但是 2014Q
7、,2014P,所以 PQ.答案： C5. 空集定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集. 记法规定空集是任何集合的子集，即A特性(1)空集只有一个子集，即它本身，(2)是任何非空集合的真子集，即若A?,则A0与的区别0 与的区别 0 是含有一个元素的集合是不含任何元素的集合，因此0 ，注意不能写成=0 ， 0 【例 5-1 】下列集合为空集的是 ()A.0B.1C.x|x0D.x|1+x2=0解析：很明显0 和1 都不是空集; 因为 x|x0 是全体负数组成的集合，所以 x|x0 也不是空集; 集合 x|1+x2=0 是一元二次方程1+x2=0的解集，但是方程1+x2=0无实数解，所以x|1+x
8、2=0=.答案： D【例5-2】有下列命题：空集没有子集；任一集合至少有两 个子集；空集是任何集合的真子集；若A,则A?.其中正确的有()A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个解析：对于，空集是任何集合的子集，故，错；对于，只 有一个子集，是其自身，错；对于，空集不是空集的真子集， 错；空集是任何非空集合的真子集，正确.答案： B6. 集合间的关系判断(1) 集合 A， B 间的关系(2) 判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言 (列举法和描述法) 、图形语言 (Venn 图)来表示集合.(3) 判断集合间的
9、关系，其方法主要有三种：一一列举观察;集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系 .一般地，设集合A=x|p(x) ， B=x|q(x) ，若 p(x) 推出 q(x) ，则AB;若q(x)推出p(x),则BA;若p(x) , q(x)互相推出，则A=B;若 p(x)推不出q(x) , q(x)也推不出p(x),则集合A, B无包含关系.数形结合法：利用数轴或 Venn图.(4)当MNff口 MN匀成立时，MN比MNM准确地反映了集合 M和N 的关系.当MNff口 M=N匀成立时，M=Nt匕MNM准确地反映了集合 M和 N 的关系 .例如，集合
10、M=1,集合N=1,2,这时M明口 MN匀成立，MNt匕 MNM准确地反映了集合 M=1和集合N=1,2的关系.又例如，集合 M=3,集合N=3,这时MN NM M=N匀成立，M=N:匕MN更准确地反映了集合M=3和集合N=3的关系.【例6-1】指出下列各对集 合之间的关系：(1)A=-1,1 ， B=(-1 ， -1) ， (-1,1) ， (1 ， -1) ， (1,1);(2)A=x|x 是等边三角形 ， B=x|x 是等腰三角形;(3)A=x|-1(4)M=x|x=2n-1 ， nN* ， N=x|x=2n+1 ， nN*.分析：先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系解：
11、(1) 集合 A 的代表元素是数，集合B 的代表元素是有序实数对，故 A 与 B 之间无包含关系 .(2) 等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(3)集合B=x|x5,用数轴表示集合A, B如图所示，由图可知 AB.(4)由列举法知 M=1,3,5,7 , N=3,5,7,9 ,故 NM.怎样用数轴表示集合对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法 . 注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示; 若端点值不是集合的元素，则用空心点表示【例6-2】已知集合，则集合M， N 的关系是 ()A.MNB.MNC.NMD.NM解析：设 n
12、=2m1 2m+ mZ则有又，.MN.答案： B7. 求已知集合的子集( 或真子集 )(1) 在写出某个集合的子集时，可以按照集合中元素的个数从无到有、从少到多的顺序依次写出，要做到不重不漏 . 一定要考虑这一特殊的集合，因为是任何集合的子集; 若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合自身计算在内，因为任何一个集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集.例如：写出集合1,2,3 的所有子集和真子集. 我们可以按照元素个数从少到多依次写出，其中元素个数分别为 0,1,2,3. 可以得到集合1,2,3 的所有子集为， 1 ， 2 ， 3 ， 1,2 ， 1,3 ， 2,3 ， 1,2,3; 所有
13、真子集为， 1 ， 2 ， 3 ， 1,2 ， 1,3 ， 2,3.(2)当集合A中含有n个元素时，其子集的个数为2n,真子集的 个数为 2n-1 ，非空子集的个数为 2n-1 ，非空真子集的个数为 2n-2.【例7-1已知集合M满足1,2M1,2,3,4,5,请写出集合M.分析：根据题目给出的条件可知，集合M中至少含有元素1,2,至多含有元素1,2,3,4,5 ,且M中必须含有元素1,2,故可按M中所 含元素的个数分类写出集合M.解：(1)当M中含有两个元素时，M为1,2;(2)当M中含有三个元素时，M为1,2,3 , 1,2,4 , 1 , 2,5;(3)当M中含有四个元素时，M为1,2,
14、3,4, 1,2,3,5,1,2,4,5;(4)当M中含有五个元素时，M为1,2,3,4,5.因此满足条件的集合 M为：1,2 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,5, 1,2,3,4 ， 1,2,3,5 ， 1,2,4,5 ， 1,2,3,4,5.有限集合子集的确定技巧 (1) 确定所求的集合;(2) 合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出 ;(3) 注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取 到.【例 7-2】设集合A=a， b， c ， B=T|TA ，求集合 B.解：. A=a, b, c,又 TA,(4) T 可能为，a , b , c , a, b, a, c, b, c, a, b, c.(5) B=， a ， b ， c ， a ， b ， a ， c ， b ， c ， a ， b， c.【例7-3已知集合A=1,3,5,求集合A的所有子集的元素之 和.解：集合 A 的子集分别是：，1 , 3 , 5 , 1,3 , 1,5, 3,5 , 1,3,5.注意到A中的每个元素分别出现在 A的4个子集中， 即在其和中出现4次.故所求之和为(1+3+5) X 4=36.集合所有子集的元素之和
