《点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆()中，若直线与椭圆相交于M、两点,点是弦的中点,弦MN所在的直线的斜率为，则 证明:设M、N两点的坐标分别为、，则有,得又同理可证，在椭圆（0）中,若直线与椭圆相交于、N两点,点是弦MN的中点，弦N所在的直线的斜率为，则.典题妙解例1 设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B,O为坐标原点，点P满足，点N的坐标为.当绕点旋转时，求:(1）动点的轨迹方程;（）的最大值和最小值.解:（)设动点P的坐标为.由平行四边形法则可知：点是弦AB的中点 .焦点在上， 假设直线的斜率存在.由得：整顿,得:当直线的斜率不存在时,弦B的中点为坐标原点，也满足方程。
2、所求的轨迹方程为（)配方,得：当时，;当时，例 在直角坐标系中，通过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和Q.（1)求的取值范畴;(2)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、,与否存在常数,使得向量与共线？如果存在，求的取值范畴；如果不存在，请阐明理由.解:（)直线的方程为由得:直线与椭圆有两个不同的交点，0.解之得:.的取值范畴是(2)在椭圆中,焦点在轴上，,设弦PQ的中点为,则由平行四边形法则可知：与共线，与共线,从而由得:，由(1)可知时，直线与椭圆没有两个公共点,不存在符合题意的常数.例3已知椭圆(0)的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为.() 求椭圆的原则方程;() 过点
3、的直线与该椭圆相交于M、两点，且，求直线的方程解：（）根据题意,得所求的椭圆方程为（)椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦M的中点为.由平行四边形法则知：.由得:.若直线的斜率不存在，则轴,这时点与重叠，,与题设相矛盾,故直线的斜率存在.由得: 代入,得整顿，得:.解之得：，或.由可知,不合题意.,从而.所求的直线方程为,或例4 已知椭圆(0）的离心率为，过右焦点F的直线与C相交于A、B两点. 当的斜率为1时，坐标原点到的距离为(1)求的值；(2）上与否存在点P,使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点P的坐标与的方程;若不存在,阐明理由.解：（）椭圆的右焦点为,直线的斜率为时,
4、则其方程为,即. 原点O到的距离:,.又,. 从而.， （2）椭圆的方程为 设弦A的中点为. 由可知,点Q是线段O的中点，点P的坐标为.若直线的斜率不存在，则轴,这时点与重叠,，点P不在椭圆上,故直线的斜率存在.由得：.由和解得：当时，点P的坐标为,直线的方程为；当时，点P的坐标为，直线的方程为.金指点睛1. 已知椭圆,则觉得中点的弦的长度为( ) . B. C. D 2.(06江西）椭圆（0)的右焦点为,过点的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于、两点，为线段B的中点(1)求点P的轨迹H的方程;（2)略.(05上海)(1）求右焦点坐标是且过点的椭圆的原则方程；(2)已知椭圆的方程为(）.设斜率
5、为的直线,交椭圆于A、B两点,B的中点为M证明：当直线平行移动时,动点在一条过原点的定直线上;(3)略.（05湖北)设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点(1）拟定的取值范畴,并求直线AB的方程;（)略.5. 椭圆的中心在原点,并以双曲线的焦点为焦点，以抛物线的准线为其中一条准线.（1）求椭圆C的方程;（2）设直线与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点有关直线对称，求的值.参照答案1. 解：由得,.弦M的中点，由得，直线MN的方程为.即 由得：设，则.故答案选C. 解：（）设点P的坐标为，由得:，整顿,得：点P的轨迹H的方程为.3解：(1）右焦点
6、坐标是,左焦点坐标是. .由椭圆的第一定义知， . 所求椭圆的原则方程为 （)设点M的坐标为，由得：,整顿得:.a、b、为定值,当直线平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上.4. 解:（1)点在椭圆内，,即1.的取值范畴是.由得,，焦点在y轴上若直线B的斜率不存在，则直线AB轴，根据椭圆的对称性，线段AB的中点N在x轴上,不合题意，故直线AB的斜率存在.由得:，所求直线A的方程为，即从而线段B的垂直平分线CD的方程为，即.5. 解：（1)在双曲线中，,焦点为.在抛物线中，,准线为.在椭圆中，. 从而所求椭圆C的方程为.()设弦AB的中点为，则点P是直线与直线的交点,且直线. .由得：，.由得：.由、得:又，即.在中，当时，,即直线通过定点.而定点在椭圆的内部,故直线与椭圆一定相交于两个不同的交点.的值为
