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1、绝密启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1本试卷共4页,均为非选择题(第1题第20题,共20题)。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效。5如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。参考公式:圆柱
2、的侧面积公式:,其中是圆柱底面的周长,为母线长.圆柱的体积公式:, 其中是圆柱的底面积,为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合A=,则 .【答案】【解析】根据集合的交集运算,两个集合的交集就是所有既属于集合又属于集合的元素组成的集合,从所给的两个集合的元素可知,公共的元素为-1和3,所以答案为【点评】本题重点考查的是集合的运算,容易出错的地方是审错题目,把交集运算看成并集运算。属于基础题,难度系数较小。2. 已知复数(i为虚数单位),则的实部为 .【答案】21开始输出n结束(第3题)NY【解析】根据复数的乘法运算公式,实部为21,
3、虚部为-20。【点评】本题重点考查的是复数的乘法运算公式,容易出错的地方是计算粗心,把算为1。属于基础题,难度系数较小。3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 .【答案】5【解析】根据流程图的判断依据,本题是否成立,若不成立,则从1开始每次判断完后循环时,赋值为;若成立,则输出的值。本题经过4次循环,得到,成立,则输出的的值为5【点评】本题重点考查的是流程图的运算,容易出错的地方是判断循环几次时出错。属于基础题,难度系数较小。4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 .【答案】【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏”的列举出来:(1,2),(
4、1,3)(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种情况,满足题目乘积为6的要求的是(1,6)和(2,3),则概率为。【点评】本题主要考查的知识是概率,题目很平稳,考生只需用列举法将所有情况列举出来,再将满足题目要求的情况选出来即可。本题属于容易题,但同时也易在列举时粗心、遗漏,需要引起考生的注意。5. 已知函数与(0),它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是 .【答案】【解析】根据题目中两个函数的图象有一个横坐标为的交点,所以将分别代入两个函数,得到,通过正弦值为,解出或,化简解得或,结合题目中的条件,确定出。【点评】本题主要考查的是三角函数,由两个图象交点建立一个关于的方程,在
5、解方程时,考生一般只想到第一种情况,忽略了在一个周期内,正弦值为的角有两个:和,然而最终答案却由第二种情况解出,此处为考生的易错点和薄弱点,主要是由于对正弦值为的角的惯性思维为,这个问题也是今年的热点问题,在模拟题中也经常出现,需要引起考生的重视。10080901101201300.0100.0150.0200.0250.030底部周长/cm(第6题)6. 设抽测的树木的底部周长均在区间80,130上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部周长小于100cm.【答案】24【解析】从图中读出底部周长在的频率为,底部周长在的频率为,样本容量为60株,株是满足题意的。【点
6、评】本题考查统计部分的内容,重点考查频率分布直方图。频率分布直方图的纵轴表示,图中读出的数据并非是频率,需要乘以组距10以后才为频率。频率分布直方图近三年的江苏考卷中都未出现,今年也是作为高考热点出现了,希望引起重视。7. 在各项均为正数的等比数列中,则的值是 .【答案】4【解析】根据等比数列的定义,所以由得,消去,得到关于的一元二次方程,解得,【点评】本题重点考查等比数列的通项公式,将题中数列的项用和表示,建立方程解得,考查以为一个整体的整体思想去解方程,对于第7题考查此题,显得太过简单了,但此题也有易错点,考生易将等比看为等差。8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为,体积分别为,若它们的侧面积
7、相等,且,则的值是 .【答案】【解析】由题意,所以,圆柱的侧面积,则,【点评】本题考查了圆柱的体积,主要根据侧面积相同,由底面积的比值找到高、体积的比值,难度适中。9. 在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】根据直线和圆的位置关系,直线与圆相交,求弦长,构建“黄金三角形”勾股定理,圆心为,圆心到直线的距离,弦长=【点评】本题主要考查直线和圆相交求弦长,直线和圆的位置关系向来都是热点和重点问题,本题考查的也是一个相对简单的问题,主要侧重计算。10. 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是 .【答案】【解析】二次函数开口向上,在区间上始终满足,只需即可,解得,则【点
8、评】本题主要考查二次函数含参数问题,将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立,使得题目解答过程和思路都简单很多,如果对于对称轴和区间进行讨论亦可做出但较繁琐,考生可以自己尝试。11. 在平面直角坐标系中,若曲线(a,b为常数)过点,且该曲线在点P处的切线与直线平行,则的值是 .【答案】【解析】根据点在曲线上,曲线在点处的导函数值等于切线斜率,将带入得,解得,则【点评】本题主要考查导数的应用,求切线问题,题目很基础,点在曲线上,以及导函数在切点处的取值等于切线的斜率,而直线平行提供切线斜率,建立关于的方程组。ABDCP(第12题)12. 如图,在平行四边形中,已知,则的值是 .【答案】22【解析】
9、以为基底,因为,则因为则,故【点评】本题主要考查向量,向量的基底表示,向量的运算,本题关键在于选取哪两个向量为基底,根据题目中已知的两条边长,选为基底最为合适。向量一直都是高考的热点话题,本题的难度适中,希望引起考生的注意。13. 已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .【答案】【解析】根据题目条件,零点问题即转化为数形结合,通过找与的图象交点去推出零点,先画出0,3上的图像,再将轴下方的图象对称到上方,利用周期为3,将图象平移至,发现若图象要与有10个不同的交点,则【点评】本题主要考查函数零点问题,转为为数形结合,利用图象交点去
10、解决问题,因为零点问题、数形结合是重要的考点和难点,但是本题考查的不是特别深,所以题目难度适中,只要能画出图象就可以解决问题。同时,这也是近年来高考的热点,同样需要注意。14. 若的内角满足,则的最小值是 .【答案】【解析】根据题目条件,由正弦定理将题目中正弦换为边,得,再由余弦定理,用去表示,并结合基本不等式去解决,化简为,消去就得出答案。【点评】本题主要考查正、余弦定理,以及不等式,最终最值是在这样一个较为特殊的角处取的,题目做为填空题的压轴题,实在是简单了,没有过多的技巧与构造,只需要用正、余弦定理和不等式即可很轻松做出答案。二、 解答题:本大题共6小题,共计90分请在答题卡指定区域内作
11、答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本小题满分14分)已知,.(1)求的值;(2)求的值.16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,E,F分别为棱的中点.已知,求证: (1)直线平面; (2)平面平面.17.(本小题满分14分)F1F2OxyBCA(第17题)如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点的坐标为,连结并延长交椭圆于点A,过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C,连结.(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程;(2)若求椭圆离心率e的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直
12、;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量,点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?170 m60 m东北OABMC(第18题)B东北AM60mO170mCEF18. (1)过点B作BEOC于点E,过点A作ADBE于点F。tanBCO=,设BC=5x ,CE=3x ,BE=4x ,OE=,AF=170 ,EF=AO=60 ,BF=4x60又ABBC ,且BAF+ABF=90,CBE+BOC=90,ABF +CBE=90,
13、CBE +BAF=90,tanBAF= = = ,x=30 ,BC=5x=150m新桥BC的长为150m。(2)以OC方向为x轴,OA为y轴建立直角坐标系。设点M(0,m),点A(0,60),B(80,120),C(170,0)直线BC方程为y=(x),即4x+3y半径R= ,又因为古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,RAM 80 且R80 , 80 , 80,35 ,R= 此时圆面积最大。当OM=10时圆形保护区面积最大。19.(本小题满分16分)已知函数,其中e是自然对数的底数.(1)证明:是R上的偶函数;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围;(3)已知正数满足
14、:存在,使得成立.试比较与的大小,并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列的前项和为.若对任意正整数,总存在正整数,使得,则称是“H数列”.(1)若数列的前n项和(N),证明: 是“H数列”;(2)设 是等差数列,其首项,公差.若 是“H数列”,求的值;(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“H数列”和,使得(N)成立.(1)证明:= ,=(n),又=2= ,(n)。存在m=n+1使得(2)=1+(n-1)d ,若是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得 。=1+(m-1)d成立。化简得m= +1+,且d0 又m , ,d,且为整数。(3)证明:假设成立且设都为等差数列,则n+=+(-1),=+1,= ()同理= ()取=k由题=+(-1)+(-1)=()+(