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1、2003年考研数学三真题及全面解析203年全国硕士入学统考数学(三)试题及答案一、 填空题（本题共6小题，每小题分,满分分 把答案填在题中横线上)（1）设 其导函数在x0处连续，则的取值范围是.【分析】 当0可直接按公式求导,当x=时要求用定义求导.【详解】 当时,有 显然当时，有，即其导函数在x=0处连续.(2)已知曲线与x轴相切，则可以通过a表示为 .【分析】 曲线在切点的斜率为0,即，由此可确定切点的坐标应满足的条件,再根据在切点处纵坐标为零，即可找到与a的关系.【详解】 由题设，在切点处有 ,有又在此点y坐标为0,于是有 ,故 (3）设a0，而D表示全平面,则= .【分析】本题积分区域
2、为全平面,但只有当时，被积函数才不为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 =（4)设n维向量;E为阶单位矩阵，矩阵 ，其中A的逆矩阵为B，则a - 【分析】 这里为阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有 =,于是有 ，即 ，解得 由于A0 ,故=（）设随机变量X 和Y的相关系数为0.,若，则Y与Z的相关系数为 0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可.【详解】 因为 =E(XY) E(X)E（)=cov(X,),且于是有 co(,Z)=(6）设总体X服从参数为2的指数分布,为来自总体的简单随机样本，则当时,依概率收敛于 .【
3、分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量,当方差一致有界时,其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值： 【详解】 这里满足大数定律的条件,且=，因此根据大数定律有 依概率收敛于二、选择题（本题共小题,每小题分，满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）()设f（x）为不恒等于零的奇函数,且存在，则函数（） 在x=处左极限不存在 (B）有跳跃间断点0.（C) 在0处右极限不存在 (D) 有可去间断点x= D 【分析】 由题设，可推出f（0)=0, 再利用在点=处的导数定义进行讨论即可.【详解】 显然x为g(）的间
4、断点,且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0）=0于是有 存在，故=0为可去间断点.(2)设可微函数f(x,）在点取得极小值,则下列结论正确的是(A)在处的导数等于零. （)在处的导数大于零.(）在处的导数小于零. （） 在处的导数不存在. 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f（,y)在点取得极小值,根据取极值的必要条件知，即在处的导数等于零, 故应选(A).(3）设，,则下列命题正确的是()若条件收敛,则与都收敛(B）若绝对收敛，则与都收敛.(C） 若条件收敛,则与敛散性都不定（D)若绝对收敛,则与敛散性都不定. 【分析】 根据绝对收敛与条
5、件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】若绝对收敛，即收敛，当然也有级数收敛,再根据，及收敛级数的运算性质知，与都收敛，故应选(B).（4)设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为,则必有（A） a或a+2b=0 (B) ab或+b0.(C) b且a+2b=0. (D） a且a+2b. C 【分析】 的伴随矩阵的秩为1, 说明A的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件.【详解】 根据与其伴随矩阵秩之间的关系知，秩（A)2,故有 ,即有或ab.但当a=时，显然秩(A）, 故必有 b且a+2b0. 应选(C).(）设均为n维向量，下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数，都有，则线
6、性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D）线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 B 【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解,以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数,都有 ,则必线性无关,因为若线性相关,则存在一组不全为零的数,使得 ,矛盾. 可见（A)成立(B）:若线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数,都有 ()不成立.（C) 线性无关,则此向量组的秩为s;反过来,若向量组的秩为s，则线性无关，因此(C)成立.(D）
7、线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关,可见(D）也成立.综上所述，应选(）.(6）将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:=掷第一次出现正面，=掷第二次出现正面,=正、反面各出现一次，=正面出现两次，则事件() 相互独立. （B）相互独立. (C)两两独立. (D) 两两独立. C 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为，,且 ,，可见有，,.故两两独立但不相互独立;不两两独立更不相互独立,应选(C).三、（本题满分8分)设 试补充定义f（1）使得f(x）在上连续.【分析】 只需求出极限,然后定义(
8、)为此极限值即可【详解】 因为 = = = =由于f（x)在上连续，因此定义 ，使f（x）在上连续.四 、(本题满分8分)设f（u,v)具有二阶连续偏导数,且满足，又,求【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题:，直接利用复合函数求偏导公式即可,注意利用【详解】 ,故 ,所以 五 、（本题满分8分）计算二重积分 其中积分区域D=【分析】 从被积函数与积分区域可以看出,应该利用极坐标进行计算【详解】作极坐标变换：，有 =令,则 .记 ,则 = = =因此 ， 六、(本题满分分)求幂级数的和函数f（x)及其极值.【分析】先通过逐项求导后求和,再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，
9、再按通常方法求极值.【详解】 上式两边从0到x积分,得 由f(0)=1, 得 令，求得唯一驻点x=0. 由于 ,可见f（x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f()=1.七、（本题满分分)设F(x)=()g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件: ,且f(0）=0,(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程;(2) 求出F()的表达式.【分析】(x）所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F()求导，并将其余部分转化为用F(x）表示，导出相应的微分方程,然后再求解相应的微分方程.【详解】 （1)由 = = (2-2F(）,可见F(x)所满足的一阶微分方程为（) = 将F(0）=
10、f(0）g()=0代入上式，得 C=-1.于是 八、(本题满分分)设函数f（x)在0,3上连续,在（,）内可导，且f(0)+f（)+f(2)=3，f(3)=.试证必存在，使【分析】根据罗尔定理,只需再证明存在一点c,使得，然后在c,3上应用罗尔定理即可 条件(0）(1)+f(）=等价于，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f（x）在0,3上连续,所以f(x)在0，2上连续,且在0，2上必有最大值M和最小值m,于是 ， ， 故由介值定理知，至少存在一点,使 因为(c)=1=f（), 且f(x)在c,3上连续,在(c,3)内可导,所以由罗尔定理知，必存在，
11、使九、（本题满分3分)已知齐次线性方程组 其中 试讨论和满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解;(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同,问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等可先将所有列对应元素相加,然后提出公因式,再将第一行的（1)倍加到其余各行,即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式 (1) 当时且时,秩（A）=n，方程组仅有零解.(2) 当= 时，原方程组的同解方程组为 由可知,不全为零. 不妨设，得原方程组的一个基础解系为,当时，有,原方程组的系数矩阵可化为 (将第行的-倍加到其余各行,再从第行到第n行同乘以倍） (将第n行倍到第2行的倍加到第1行,再将第1行移到最后一行） 由此得原方程组的同解方程组为 ,，.原方程组的一个基础解系为 十、（本题满分13分)设二次型,中二次型的矩阵A的特征值之和为，特征值之积为-12.(1) 求a，的值;(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵【分析】特征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式,由此可求出a， 的值；进一步求出的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正
