《梯形典型例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《梯形典型例题（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、v1.0可编辑可修改典型例题例 1：已知梯形 ABCD的面积是 32，两底与高的和为 16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为 _思路分析本题是几何中的计算问题通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长解：如图 4-50，梯形 ABCD中，ADBC，BD BC设 AD=x，BC=y，DB=z，由题得：x+y+z=16，（熟记梯形面积公式）解得 x+y=8， z=8，过 D作 DEAC交 BC的延长线于 E四边形 ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） DE=AC，AD=CE（将“上底 +下底”转
2、化到一条线段上）在 Rt DBE中， DBE=90， BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，根据勾股定理得，1v1.0可编辑可修改 AC=DE，点评： 本题主要考查用“方程思想”解决几何中的计算问题解题过程中作“对角线的平行线”，将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以通过解直角三角形计算出对角线长，体现了添加辅助线的目的是把“分散的条件得以集中，隐含条件加以显现”的作用解梯形有关问题时，我们也常通过“作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决”例 2：如图 4-51 ，已知 AB=BC，ABCD， D=90， AE BC求证： CD=CE思路分析这是一个直角梯形，通过作
3、 CFAB，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明 CD=CE的目的证明：如图 4-52 ，连结 AC，过 C 作 CF AB于 F2v1.0可编辑可修改在 CFB和 AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）（构造三角形证明三角形全等） CFB AEB（ AAS） CF=AE D=90， CF AB且 AB CD， AD=CF， AD=AE在 Rt ADC和 Rt AEC中， RtADCRt AEC（ HL） CD=CE点评： 本题主要考查直角梯形、三角形全等的综合运用在直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特殊的四边形（矩形）和三角形将题中已知条件AB=
4、BC中的两条线段 AB和 BC分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明 CD=CE 的目的解决梯形问题时，除可作以上辅助线外，作一腰的平行线、连对角线、作对角线的平行线也是经常用到的3v1.0可编辑可修改例 3：如图 4-53 ，梯形 ABCD中，ABDC，AD=BC，延长 AB至 E，使 BE=DC求证：AC=CE思路分析本题主要考查等腰梯形的性质及证明两条线段相等的基本方法证法一：四边形 ABCD是等腰梯形， ADC= BCD（等腰梯形同一底上的两个角相等）又 ABDC， BCD= CBE，（两直线平行，内错角相等） ADC= CBE，在 ADC和 CBE中， AD
5、C CBE （SAS） AC=CE4v1.0可编辑可修改证法二：如图 4-54 ，连结 BD， DCBE， DC=BE，四边形 DCEB是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） DB=CE又四边形 ABCD是等腰梯形， AC=BD，（等腰梯形对角线相等） AC=CE证法三：如图 4-55 ，作 CF AE于 F，DM AE于 M在 AMD和 BFC中， AMD BFC（ AAS） AM=BF又 ABDC，MD FC， DC=MF又 DC=BE，5v1.0可编辑可修改 AM+MF=BF+BE， F 为 AE的中点， CF是 AE的垂直平分线， AC=CE证法四：如图 4-54 ，
6、连结 BD DCBE， DC=BE，四边形 DCEB是平行四边形， DBA= E，（两直线平行，同位角相等）又四边形 ABCD是等腰梯形， AC=BD，在 ABC和 BAD中， ABC BAD （SSS） CAB= DBA， CAB= E， AC=CE（等角对等边）（此种方法虽然较繁，但其思路很有价值，即通过证明“三线合一”说明是等腰三角形）6v1.0可编辑可修改点评： 证法一证两三角形全等得两线段相等；证法二、四利用角相等证线段相等；证法三中通过梯形常加的辅助线，作梯形底边上的高，连结梯形的对角线，将梯形分割成两个直角三角形与一个矩形，连结对角线再作对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形
7、和一个三角形例 4：要剪切如图 4-56 （尺寸单位： mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等有两种面积相等的铝板，第一块长500mm，宽 300mm（如图 4-57 （1），第二块长 600mm，宽 250mm（如图 4-57 （ 2），可供选用（ 1）为了充分利用材料，应选用第_种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共 _个，剪完这些零件后，剩余的边角料面积是_（ 2）从图 4-57 （1）、 4-57 （ 2）中选出你要的铝板示意图，在上面画出剪切线；并把边角余料用阴影表示出来思路分析通过计算，两直角梯形零件面积分别为，而铝板的面积均为，最多能剪出两个甲、两个乙零
8、件，即在两铝板中设计打样设计时，为了充分7v1.0可编辑可修改利用材料，考虑到（ 1）中宽为 300mm，则一种方案作两个乙高， 另一种方案为一个甲的下底，思路便打开，类似地，（ 2）也可以这样分割设计，做出尝试解：（1）应选用第一块铝板，最多能剪出甲、乙两种零件共4 个，由计算得第一块铝板面积为：，而零件甲、乙的面积分别为，剩余的边角料的面积是；（ 2）如图 4-58 所示正确画出图形（设计零件个数，从个数、数量上，结合图中数与数之间的关系考虑，往往是应用题的切入点，此外对图形的拼凑、计算、想象，可有利于思维向纵深发展）习题精选一、选择题1下列命题中，真命题有()8v1.0可编辑可修改有两个
9、角相等的梯形是等腰梯形；有两条边相等的梯形是等腰梯形；两条对角线相等的梯形是等腰梯形；等腰梯形上、下底中点连线， 把梯形分成面积相等的两部分(A)1 个(B)2个(C)3 个(D)4个2以线段 a=16，b=13，c=10，d=6 为边作梯形，其中a、c 作为梯形的两底，这样的梯形()(A) 只能作 1个(B) 能作 2个(C) 能作无数个(D) 不能作3在直角梯形 ABCD中， ADBC，AB BC，E 是 CD中点，则 ()(A)AE=BE(B)AE BE(C)AEBE(D)AE、BE大小不确定4等腰梯形的两底长分别为a、b，且对角线互相垂直，它的一条对角线长是()(A)(B)(a b)(c)(D)a b5有两个角相等的梯形是()A等腰梯形B直角梯形9v1.0可编辑可修改C一般梯形D等腰梯形或直角梯形6已知直角梯形的一腰长为10cm，这条腰与底所成的角为30，那么另一腰的长为()AB 5cmC10cmD15cm7如图 4-59 ，梯形 ABCD中，ADBC，AB=CD，对角线 AC与 BD相交于点 O，则图中全等三角形共有 ()A1 对B2对C3 对D4 对（平移对角线 BD即可）
