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1、第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧【例题解析】考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例题例1（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）. 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, 推测出第n层的球数。
2、解答过程：显然.第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和，即所以：例2（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。解：第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，第3次全行的数都为1
3、的是第=7行，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是=32应填，32考点2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列的通项. 再看“逐商法”即且，可把各个商列出来求积。另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例3（2007年北京卷理）数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式思路启迪：（1）由成公比不为的等比数列列方程求；（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与
4、该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：（I），因为成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于， ， ，所以又，故当时，上式也成立，所以小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.例4（2006年广东卷）已知数列满足，若， 则 ( B )（） （） （） （） 思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程：， .相叠加.， .， ， ，.解答过程
5、2：由得：， ，因为.所以：.解答过程3：由得：，从而 ；.叠加得：.， . ， 从而.小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推，可转化为；对连续三项递推的关系如果方程有两个根，则上递推关系式可化为或.考点3 数列的通项与前n项和之间的关系与应用与的关系：，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合。解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子.例5（2006年辽宁卷） 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ）(A) (B) (C) (D)命题目的
6、：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。过程指引因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C.例6.已知在正项数列a n中，S n表示前n项和且，求a n.思路启迪：转化为只含或者只含的递推关系式.解答过程1：由已知，得当n=1时，a1=1；当n2时，a n= S nS n1，代入已知有，.，又，故.，是以1为首项，1为公差的等差数列，故.解答过程2：由已知，得当n=1时，a1=1；当n2时因为，所以.，因为，所以，所以.考点4. 数列中与n有关的等式的理解与应用对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为得到另外的式子。也可以把n取自然数中的具体的数1，
7、2，3等，得到一些等式归纳证明.例7（2006年福建卷）已知数列满足 (nN)（）求数列的通项公式；（）若数列满足 (nN*),证明: 是等差数列;思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化解答过程： （I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）证法一： ，得即 ，得即故是等差数列.考点5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差（或公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如（1）等差
8、数列中，若，则；等比数列中，若，则 . （2）等差数列中，成等差数列。其中是等差数列的前n项和；等比数列中（），成等比数列。其中是等比数列的前n项和；（3）在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列. （4）在等差数列中，； .在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.典型例题例8（2006年江西卷）已知等差数列的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ ）A100 B. 101 C.200 D.201命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。过程指引：依题意，a1a2001
9、，故选A例9（2007年安徽卷文、理）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a1, a2, 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r0）,那么, 在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（1+r）n1，第二年所交纳的储备金就变成 a2（1+r）n2，. 以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn1（n2）的递推关系式；（）求证Tn=An+ Bn，其中An是一个等比数列，Bn是
10、一个等差数列.命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解：（I）我们有 （II）反复使用上述关系式，得 在式两端同乘1+r，得 ，得2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用考点6 等差、等比数列前n项和的理解与应用等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式（），因此可以改写为是关于n的指数函数，当时，.例10（2007年广东卷理）已知数列的前n项和Sn=n29n,
11、第k项满足5ak8,则k=A9B8C7D6思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力解：此数列为等差数列，由52k-108得到k=8例11（2007年湖北卷文）（本小题满分13分）已知数列an和bn满足:且bn是以q为公比的等比数列. （）证明：； （）若证明数列是等比数列； （）求和：.命题目的：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力解法1：（I）证：由，有， （II）证：，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II）得，于是当时，当时，故解法2：（I）同解法1（I）（
12、II）证：，又，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II）的类似方法得，下同解法1考点7 数列与函数的迭代问题由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类是数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.例12（2006年山东卷）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2
13、,3.()令()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由.思路启迪：利用等比的定义证明是等比数列；对可由已知用叠加法求出求。求出与便可顺利求出第三问.解答过程：（I）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列.（II）由（I）知，将以上各式相加得： （III）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又.当且仅当，即时，数列为等差数列.解法二：存在，使数列是等差数列.由（I）、（II）知，.又.当且仅当时，数列是等差数列.（5）例13（2007年陕西卷理）已知各项全不为零的数列的前k项和为Sk，且N*），其中 （）求数列的通项公式； （II）对任意给定的正整数 ，数列满足 .思路启迪：注意利用解决问题解：（）当，由及，得当时，由，得因为，所以从而，故（）因为，所以所以故考点8 数列综合应用与创新问题数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点，全面考察数学知识的掌握和运用的情况，以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等，涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。例14（2006年湖南卷）在m（m2）个不同
