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1、三角形中的最值(或范围)问题 解三角形问题,可以较好地考察三角函数的诱导公式,恒等变换,边角转化,正弦余弦定理等知识点,是三角,函数,解析几何和不等式的知识的交汇点,在高考中容易出综合题,其中,三角形中的最值问题又是一个重点。其实,这一部分的最值问题解决的方法一般有两种:一是建立目标函数后,利用三角函数的有界性来解决,二是也可以利用重要不等式来解决。类型一:建立目标函数后,利用三角函数有界性来解决例1在ABC中, 分别是内角的对边,且2asinA =(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1) 求角A的大小;(2)求的最大值.变式1:已知向量,且,其中是ABC的内角,分别是角的对边.(1
2、) 求角的大小;(2)求的最大值.解:由,得a+bc=ab=2abcosC所以cosC=,从而C=60故=sin(60+A)所以当A=30时,的最大值是变式2已知半径为R的圆O的内接ABC中,若有2R(sinAsinC)=(ab)sinB成立,试求ABC的面积S的最大值。解:根据题意得: 2R()=(ab)*化简可得 c=a+bab, 由余弦定理可得:C=45, A+B=135 S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135A)=(sin(2A+45)+10A135 452A+45315 当2A+4590即A=15时,S取得最大值。类型二:利用重要不等式来解决例
3、2(13年重庆中学)在中,角A,B,C的对边分别为且.(1)若,且,求的值(2)求的面积的最大值。解(1)由余弦定理, ,又,解方程组得或 (舍) (2)由余弦定理, ,又即时三角形最大面积为变式3在ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c, ABC的外接圆半径R=,且(1)求B和b的值; (2)求ABC面积的最大值解:由已知,整理可得:sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)= 2sinAcosBA+B+C= sinA =2sinAcosBsinA0 cosB= B=60R=, b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b=a+c-
4、2accosB即9a+c-2accos 609ac= a+c2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)三角形得面积s=acsinB*9*sin60=三角形得面积的最大值是变式4:ABC中,若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是 答案:解法1.由a=2,c=1, a=2c2sinA=4sinC sinC = sinA0CA 0C30解法2.cosC=(b+),故0b,b1,b1.12.(2013四川)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC). (1)求cos A的值; (2)若a4,b5,求向量在
5、方向上的投影【简解】(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC),得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B,即cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.则cos(ABB),即cos A.(2)由cos A,0Ab,则AB,故B,根据余弦定理,有(4)252c225c,解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cos B13.(2013新标2) ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知abcos Ccsin B.(1)求B; (2)若b2,求ABC面积的最大值【简解】(1) sin Asin Bcos Csin Csin Bsin
6、(BC)sin Bcos Ccos Bsin Csin Bcos B.又B(0,),所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac,故ac,当且仅当ac时,等号成立因此ABC面积的最大值为1.14、(2015年新课标2文)ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.(I)求 ; (II)若,求.1、已知中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若的面积为S,且等于()ABCD 【答案】C 由得,即,所以,又,所以,即,所以,即,选C 2、若三角形的内角满足,则的最小值是 【解析】3、在中,为边上一点, (1)求的大小; (2)当时,求的值解:(1) 由已知, 。(2)(1)(2)4、已知函数的最大值为2.(1)求函数在上的单调递减区间; (2)ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且C=60,c=3,求ABC的面积.5、在中,内角、的对边分别是、,且.()求; ()设,为的面积,求的最大值,并指出此时的值.答案:(1) (2),最大值3