《大数定律与中心极限定理的关系及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大数定律与中心极限定理的关系及其应用（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、06级数学与应用数学专业毕业论文论文题目：大数定律与中心极限定理的关系及其应用摘 要：本文通过对概率论的经典定理大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述,揭示了随机现象最根本的性质平均结果的稳定性.经过对中心极限定理的讨论,给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据.关于大数定律方面,较全面地分析和叙述了几种最常用的大数定律.同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;另外,叙述了各种大数定律以及中心极限定理各自之间,大数定律与中心极限定理之间的关系.同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系.最后给出了一些简便的大数
2、定律与中心极限定理在数理统计、误差、彩票学、近似计算、保险业及数学分析等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值.关键词：随机变量序列；大数定律；中心极限定理；应用IIITitle：Law of large numbers and the relationship between the central limit theorem and its applicationAbstract: Based on the probability of a classic theorem : the law of large numbers central
3、 limit theorem in the independent distribution ; with the different distribution of both cases, it made more systematic exposition, and revealed the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability . Trough the central limit theorem discussion it wil
4、l give out the random variables and the distribution of the normal distribution .About the law of large numbers, there are more comprehensive analysis and described several of the most commonly used on it. The content of the same central limit theorem also discussed the independent distribution and
5、independent distribution of the two different perspectives. Also, it will discussed the relationship between the variety of narrative and the law of large numbers between their respective central limit theorem, and that of the law of large numbers and the central limit theorem. At the same time, it
6、demonstrated the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally ,it gave out several aspects of application of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in mathematical statistics, error, lottery school, the approximate calculation, an
7、d the insurance industry and mathematical analysis, to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value.Keywords: Random variables ; Law of large numbers; Central limit theorem; Application目 录摘 要IAbstractII第1章 引言1第2章 大数定律及其证明22.1
8、几个相关定义22.2 大数定律及其证明4第3章 中心极限定理83.1 中心极限定理的提法8第4章 大数定律与中心极限定理的关系114.1 服从大数定律, 但不服从中心极限定理114.2 服从中心极限定理, 但不服从大数定律124.3 大数定律与中心极限定理都不服从134.4 大数定律、中心极限定理都服从13第5章 应用145.1 “概率”及“数学期望”的确切定义145.2 解释测量(随机) 误差145.3 在数学分析中的应用155.4 在计算精确的近似概率方面的应用165.5 在彩票和保险业的应用17结 语20参考文献21致 谢22附录23柳亚林：VLAN在校园网中的高效应用第 IX 页 共
9、5 页06级数学与应用数学专业毕业论文第1章 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来. 从概率的统计定义中可以看出:一个事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定在某个常数附近. 人们在实践中观察其他一些随机现象时,也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性. 这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关,且不再是随机的. 深入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含义是什么? 在什么条件下具有稳定性? 这就是大数定律要
10、研究的问题. 众所周知,中心极限定理是概率论中最重要、最基本的一个定理.中心极限定理揭示了离散型随机变量与连续型随机变量之间的内在联系, 为用连续型随机变量的分布,特别是标准正态分布对离散型随机变量进行概率计算提供了理论基础.基于中心极限定理的概率统计方法在生活中的应用,本文利用中心极限定理,分析了保险业和近似计算中的应用.第2章 大数定律及其证明2.1 几个相关定义 定义11 设为概率空间上定义的随机变量序列（简称随机序列）,若存在随机变数,使对任意,恒有：或, 则称随机序列概率收敛于随机变量（也可以是一个常数）,并用下面的符号表示：或.定义 2268 设为随机变量序列, 数学期望存在,如果
11、对任意的.恒有:, 则称随机变量序列服从大数定律.定义 3 设为随机变量序列, 如果存在常数序列.对任意的.恒有:, 则称随机变量序列服从大数定律.注：定义2和定义3两种大数定律定义的讨论所谓大数定律, 它是揭示大量随机现象的平均结果稳定于平均值的极限理论.而大量随机现象即的平均结果是(充分大),其平均值是.因此, 从这一角度来考虑,定义2是恰当的.定义3与定义2的不同点在于它并不要求随机变量的期望存在(),只要存在常数序列,使对任意的.恒有即可.为了弄清这两种定义的异同,我们必须讨论数列与数列之间的关系.首先,当()存在时,我们不难证明:,这个结果表明在()异存在时,只需取,().此时, 定
12、义2 与定义3 是等价的.其次,当()不存在时, 由定义2知不服从大数定律, 而此时, 存在常数列使定义3仍然成立.综合上述定义2与定义3不是等价的.定义3不仅在形式上而且在内涵上比定义2更广泛.定义 43 设是分布函数序列,若存在一个非将函数,对于它的每一连续点,都有,则称分布函数序列弱收敛于.定义5 设, 分别是随机变量及的分布函数,若,则称依分布收敛于,亦记为,且有：（1）若,则；（2）设c为常数,则的充要条件是.逆极限定理：设特征函数列收敛于某一函数,且在时连续,则相应的分布函数列弱收敛于某一分布函数,而且是的特征函数.车比雪夫不等式4：设是一个随机变量,它的数学期望为,方差为,则对任
13、意的正常数恒有： （2-1） 或有 （2-2）称（2-1）式或（2-2）式为车比雪夫不等式.以下就连续型随机变量来证明这个不等式.证 设的密度函数为,则有,于是 这个不等式可解释为：对任意给定的正常数,可以作为两个区间和.（1）式表示,在一次试验中,随机变量的取值落在的概率小于等于.不等式说明越小,则的取值越集中在附近.这进一步说明了方差是反映随机变量取值的离散程度的.2.2 大数定律及其证明大数定律形式有很多,我们仅介绍几种最常用的大数定律.定理156 （车比雪夫大数定律）设随机变量相互独立,它们的数学期望依次为,方差依次为而且存在正常数,使得对一切有,则对任意给定的正常数,恒有证 设,则的
14、数学期望和方差分别为：,由车比雪夫不等式,对任意给定的正数,有=即 .对不等式取极限,则得车比雪夫大数定律表明,在一定条件下,当充分大时,个随机变量的算术平均值偏离其数学期望的可能性很小.这也正是用一系列测量值的平均值来近似代替真值的做法的原则.推论 1 设随机变量相互独立,且它们具有相同的分布及有限的数学期望和方差：,则对任意给定的正数,有.此推论证明：n个相互独立的具有相同数学期望和方差的随机变量,当n很大时,它们的算术平均值几乎是一个常数,这个常数就是它们的数学期望.定理 27 （辛钦大数定律）设是相互独立的随机变量,而且有相同是的分布,具有有限的数学期望,则对任意给定的,有.注：定理2
15、中条件比定理1中的条件要宽,在定理1中要求方差有限,而定理2不需要这个条件.辛钦大数定律说明独立同分布的随机变量的算术平均值依概率收敛于它的数学期望值,它为在实际应用中用算术平均值估计数学期望提供了理论依据.证 因为是具有相同分布的随机变量序列,故它们有相同的特征函数.设它们的特征函数为,由于存在,故有展开式：,其中表示关于的高阶无穷小量.再由独立性知,的特征函数为：.对任意取定的数,有.而是连续函数,且是单点分布的特征函数,由逆极限定理知：的分布函数弱收敛于.其中,因此,由（2）式知:.定理 38 （贝努利大数定律）设是次独立试验中事件A 发生的次数, 是事件A 在每次试验中发生的概率,则对任意给定的正数,有 或 证 令 .显然,由于各次试验是独立的,从而相互独立,又服从参数为的两点分布,所以. 由定理1有 .此定理表明:当很大时, 重贝努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率,这个定理以严格的数学形式刻画了频率的稳定性,因此,在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.
