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1、破解折叠问题的“三步曲”齐建民折叠问题是指将平面图形按某种要求翻折为立体图形，考察由此产生的位置关系和数量 关系，这类问题由于涉及到平面到空间的动态变化，对空间想象能力，识图能力及分析能力 要求均较高，是近年来高考的热门题型，要解决好此类问题笔者认为应从以下三点着手： 第一步：看两图两图指折叠前的平面图形和折叠后的立体图形，有时候题目中可能只给出平面图形，这就 需要我们自己去画立体图形，我们应该对比两个图形，思考下面的问题；(1) 折痕是哪些直线？折痕与折叠特征是折叠问题的两大要素，是引发后面问题的“罪魁祸首”，呵呵，这么说只是强调一下折痕的重要地位， 盐打哪儿咸，醋打哪儿 酸，解决折叠问题的
2、思维起点，位置与数量关系的变化皆与折痕有关， 要明确一点： 位于折痕同一侧的点，线的关系是不变的；(2) 折叠前后哪些点重合了？重合的点往往意味着重合的线段，即立体图形中明明是一条线段，但在原来的平面图形中则是两条相等的线段。(3) 折叠前后哪些点或线不在原平面而被翻折到了空间？第二步：挖掘折叠特征折叠特征就是把平面图形翻折要实现的目的，它是解题的一个重要已知条件，我们应该充分理解、挖掘这个特征，常见的折叠特征有以下三种：(4) 将平面图形折叠成某个度数的二面角，比如直二面角，这种情况我们就应该找到这 个二面角的平面角，在立体图中标出；(5) 使几个点重合，这种情况我们就应该标出哪些点重合的；
3、比如若A,B两点重合记为点P的话，我们可以在图上标记为 P(A,B)这样便于翻折前后的对比；(6) 使指定的两个点的距离是某值，那么我们应该连接相关的点；第三步：结合问题，寻找不变量通过前两步，我们已经对翻折过程有了比较清晰的了解，对翻折得到的立体图形的空间形 态也有了全方位的认识，那么最后一步，就是结合问题，充分利用翻折前后图形的性质来寻 找解题的途径，而其中翻折前后的“不变量”往往是解题的关键，常见的不变量有“不变的 垂直关系，不变的长度关系，不变的平行关系“这三类，当解题受阻时就应该思考“哪些量 是不变的？”，可以说找到了不变量就找到了解题的钥匙！上述三步曲是解决折叠问题的总的规律，在实
4、际解题中应灵活运用，下面举例说明在解题 中，我们如何走好这“三步”，重点来看一下三种“不变量”是如何在解题中运用的： 一、不变的垂直关系例1:如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，将 ADE和 BEC沿DE和CE折起，使AE 与BE重合，记A与B重合后的点为P求(1)求证：PE 平面PDC ; (2)二面角P-CD-E的度数；分析：从翻折的过程可以看出， AD AE,EB BC这两个垂直关系是不变量， 而翻折后A,B重合为P,故在立体图中有 PE PD,PE PC,问题得解；解：（1）由翻折过程可知，PE PD,PE PC ,故PE 平面PDC ； （2）取CD中点F,连接PF,FE在原平面
5、图形中，AD=BC,ED=EC翻折后 A,B重合为P故 PD=PC,可知PF CD,EF CD ，则 PFE是二面角P-CD-E的平面角，设正方形边长为a,得PE -,2a21EF a, sin PFE /则二面角 P-CD-E的度数为 30a 2二、不变的长度关系例2 （2007安徽文）把边长为 J2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，折成直二面角后，在 A, B, C, D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为（）rr无无A. v 2 TtC . TtB . D .一分析：原题是没有图的，需要我们自己画出前后两个图形，折叠特征是直二面角，哪个角是它的平面角？ 不难看到DO AC
6、,OB AC这两组垂直关系是不变的， 故 DOB就是二面角的平面角，则DOB 那么如何确定 A,B,C,D四点所在的球心呢？找不变量！通过比较两图可以发现，折叠前 A、B、C、D四点是共面的，翻折后不再共面，这是变化的量，而正 方体中心 O到四个顶点的距离是不变的，即在折叠前后中始终有OA OB OC OD,所以。就是翻折后 A, B, C, D四点所在球的球心，易得该球半径R 1,而D,B两点在球中 兀.,一、 所对球心角为一，球面距离L gR ,故选B. 22mi三、不变的平行关系例3： (2006高考辽宁卷)已知正方形 ABCD, E, F分别是边 AB, CD的中点，WAADE沿DE折
7、起，如图所示，求证： BF 平面ADE分析：要证明BF/平面ADE ,只需证明BF与平面ADE内的一条直线平行即可，而比较翻折前后的图形可以发现，BF/ ED这个平行关系是不变量，命题得证;解：E、F分别是正方形 ABCD的边AB、CD的中点，则EB/ FDHEB=FD,四边形EBFD是平行四边形BF / EDED 平面AED,而BF 平面AEDBF/ 平面 AED练习：(1)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积是( )(A)(B)邑3)邑 3,612121 / 12(2)如图，在正三角形 ABC中，D, E, F分别为各边的中点，G, H, I,
8、 J分别为AF, AD,BE, DE的中点.将 ABC沿DE, EF, DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度为 ()A. 90 B, 60C. 45(D) 0(3)如图，在等腰梯形 ABCD中，AB=2DC2/DAB=60,E为AB的中点，将 ADE与4BEC分(4)正方形ABCD的边长是2,E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图所示).M为矩形AEFD内的一点，如果 MBE= MBC, MB和平面BCF所成角的正切 值为1/2,那么点M到直线EF的距离为 。答案：(1)选D 提示：画出翻折前后的图形，可知不变量有DO OB =2和2DO OC, DO OA,而BD
9、 a,可得 DOB 90，则DO 平面ABC,三棱锥体积1112.2.2 2V - sh -g- a g a a33 2212(2)选B 分析：画出折叠后的立体图形，因为 A,B,C三点重合为 S,翻折过程中不变量是GH DF ,JI /DB即JI/SD,故GH与IJ所成角就是 SDF ,大小为60。选C提示：由已知易得 ADE, DEC, CEB均为正三角形，而翻折后A,B重合为P,故三棱锥P-CDE实际为正四面体，计算可得外接球半径43.6V - R338(4)填 提示：由 MBE= MBC,可知M在平面EFCB内的射影在EBC的平分线上，2而 EBC 90，故M的射影应该在原正方形的对角线BD上，因为翻折特征是直二面角，设M在平面EFCB内的射影是N,即MN EF ,由面面垂直的性质定理可知，N必在EF上，且MN 1BN=J2, MB和平面BCF所成角即 MBN ,tan MBN 一，得MN ，故M到直BN 22线EF的距离为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
