圆锥曲线的光学性质其应用

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1、圆锥曲线的光学性质及其应用 尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质， 就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。设P（X。】。）为圆锥曲线心、胶方+ D疽EF = 0 （A、B、C不同时为零） 上一定点，则在该点处的切线方程为： 怂0“B气对心皆十。空十e-h,f顼。（该方程与已知曲线方程 本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。该方程的推导，原则上用“法”求出在点P处的切线斜率*，进而用点斜式写出切线方程，7。=沦微口任-气），则在点P处的法线方程为1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线矿=即四

2、幻上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1中口1=明。图I事实上，设吊（礼圣）为抛物线妒=叩离上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得_ 2 弓十商寸，即伞=5我），斜率为时于是得在点M处的法线方程为令7 = 0，得法线与x轴的交点N的坐标为（呵十网），网|=| 气 十p_|=x +三 所以又焦半径所以|FM|=|FM|,从而得口=明=咛即电=由，当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。T/_-y 5|TF|=+h口| MF |=也可以利用点M处的切线方程求出，则，又故|FT|=|F

3、M|Z1=Z2 = Z3，从而得叫=%也可以利用到角公式来证明勺=叫抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后， 反射光线平行于抛物线的轴”。2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图2中明=财，如证明也不难，分别求出禹 *附PE、瓯，然后用到角公式即可获证。椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反 射光线交于椭圆的另一个焦点上”。3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中勺=七。仍可利用到角公式获证。图3这个性质的光学意义是：“从双曲线的

4、一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光 线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。这里仅举例说明这些光学性质在解圆锥 曲线的有关问题中的应用。应用圆锥曲线光学性质解题，特别是切线问题是十分方便的。其间要注意一个基本关系式 的应用，即“过投射点的曲线的切线与入射线、反射线成等角”。如图4, MN切曲线C于 点P，则ZAPM=ZBPN。这是很容易由物理学的“入射角等于反射角”及平面几何中“等 角的余角相等来证明的。图4_|_ = 1 = 1例1求证：椭圆花 9和双曲线15在交点处的切线互相垂直。一卧分析：如图5,用圆

5、锥曲线光学性质证明Z1 + Z3 = 90。即可。证明：如图5,两曲线的公共焦点孔（一4，）、弭,0），设p为两曲线的一个交点，pq、PR分别为椭圆、双曲线的切线，连FPJ，并延长，由椭圆光学性质，推得Zi =Z2；由双曲线光学性质，得Z3=Z4O又Z2=Z5,Z4=Z6 （对顶角相等），所以Z1 = Z5,Z3=Z6 （等量代换）。又 Z1 + Z3+Z5+Z6=180,所以Z1 + Z3 = 90，即PQXPR，命题得证。评注：（1）本题也可采用代数运算证出kpQkpE=-1的方法来证明，但比较复杂。这 里采用光学性质证明法则直观简捷。（2）由本题得到一个一般性命题：焦点相同的一个椭 圆与

6、一双曲线在交点处的切线互相垂直，于是有定义：两圆锥曲线在交点处的两条切线互相 垂直，叫做这两曲直交。例2如图6,已知小是椭圆/护的焦点，耳、巴分别是耳、马在椭圆任一切线CD上的射影。（1）求证: IFEHE I为定值；（2）求出的轨迹方程。036分析：（1）欲证为定值，即证|FQ|泗Fg|泗口为定值（由光学性 质推得或1成1 =鲜点巳=0C），从而知应用余弦定理于AF1QF2即可获证。）（2）求出 |0PiH0P I分别为定值即知其轨迹，易得轨迹方程。证明：（1）设Q为切线，由椭圆光学性质推知迎1*1 =逐应均设为孔 贝g|FF |=|FiQ|，mFgK|Fg|Emw所以I啊.|槌|=|啊.|

7、耳QW田又明如=180。-如，则在再既中，| F|勺 | +1 耳 QW | F& | | 耳 Q | coS（lSO-航） 阻|+|%薄）2|阻|.压Q|（l哭。Ha）2-2|F1Q|-|F2Q|-l-（l-23in2H= 4a2 - 4| Ql - |F2Q|sm3 oc= 4a2-4|F1P1|FiP2|J则4|啊也4/-|耳项七蓿-* =.所以朋压耳或为常数，即定值。（2）设点O在CD上的射影为M，则OM是直角梯形FiFJWi的中位线，于是有在RtAOP1M 中，|期F=|MH f十顼 十旧斗|氐弓;I、 2 /2=：l w F +| FP |2 + |F3p3p 血 N 耳耳于用=

8、jFFj 4）FlR|-IF隽俨十（|F】R|十 |弓匕尸十 4 | FF11 . I FM 1）=扑，+ 4/）曲（1 溯 I FR I I 耳乌 1=尸）厂|-I所以P当的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆，其方程为R槌=-|例3设抛物线 =位的焦点为F，以F与A（4, 4）为焦点作椭圆，使其与已知抛物线有公共点（如图7），当长轴最短时，求椭圆方程。圈7分析：求解的关键是光线FP的反射线PA平行于x轴。2十2 = 1解：设以点A（4, 4）、F（4, 0）为焦点的椭圆为日一4 /（a为长半轴 长）。再设P为抛物线与椭圆的公共点，由椭圆第一定义知：|PA|+|PF|=2a即长轴长2a等于抛物线上

9、一点P到两定点A、F距离之和，若2a最小，当且仅当椭圆 与抛物线相切。此时，由圆锥曲线的光学性质知，光线FP的反射线PA平行于x轴。所以P(1，4)。由知&也=%(k-4)2 ! (y-2)a所以所求的椭圆方程为龙 例4如图8，已知探照灯的轴截面是抛物线y3=K，平行于对称轴y = 0的光线于此抛物 线上的入射点、反射点分别为P、Q，设点P的纵坐标为*顼，当a为何值时，从入射 点P到反射点Q的路程PQ最短？图8分析：设但七或，由抛物线光学性质知PQ过焦点，子人故可用弦长公式建立目标 函数FQH3)，求出最小值条件a即可。1 j解：由抛物线光学性质知光线PQ必过其焦点疽人设点次)，则直线pq的方 程为a (4将方程矿=惠代入，消去x，得4aya -(4a3 -l)y-a=Oy = -L 或了= q厂 1_ 1、故知点Q坐标为1丘疽4|PQ|=|PF|+|FQ|= 则211a 4-4-z-+ 1 时Uda34Jm =7 a =当且仅当16a，即N时，等号成立。1 1 1) 1a _ _P ，Q n-此刻lPQlnm= 1，即当云时，亦即入射点4 人 反射点U 刁时最短，过时P、Q恰好关于X轴对称。