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1、 中考数学最值问题【例题1】（经典题）二次函数y=2（x3）24的最小值为 【例题2】（2018）如图，AB是O的弦，AB=5，点C是O上的一个动点，且ACB=45，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 【例题3】（2019）已知抛物线yax2bxc（a0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC3（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AMBC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQQC是否存在最小值?若存在，求岀
2、这个最小值；若不存在，请说明理由练 习1.（2018）要使代数式有意义，则x的（ ）A.最大值为 B.最小值为 C.最大值为 D.最大值为2.（2018）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为_。3.（2018）设a、b为实数，那么的最小值为_。4.（2018）如图，MN是O的直径，MN=4，AMN=40，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 5.（2018）某水果店在两周，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的
3、第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1x15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间(天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)803x120x储存和损耗费用(元)403x3x264x400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？6.（2018荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已
4、知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为，。（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？7.（2018）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？8.（经典题）求的最大值与最小值。9.（经典题）求代数式的最大值和最小值。10.（经典题）求函数的最大值。11. （2018）已知x、y为实数，且满足，数m最大值与最小值。12.（2019
5、年省市）如图，在RtABC中，A90AB8cm，AC6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DEBC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值围；（2）当x为何值时，BDE的面积S有最大值？最大值为多少？13.（2019年）如图，在ABC中，A90，AB3，AC4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQBC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x（1）试说明不论x为何值时，总有QBMABC；（2
6、）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键14. （2019）如图所示，抛物线过点A（1，0），点C（0，3），且OB=OC（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值，（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为35两部分，求点P的坐标15.（2019广西省贵港）已知：是等腰直角三
7、角形，将绕点顺时针方向旋转得到，记旋转角为，当时，作，垂足为，与交于点（1）如图1，当时，作的平分线交于点写出旋转角的度数；求证：；（2）如图2，在（1）的条件下，设是直线上的一个动点，连接，若，求线段的最小值（结果保留根号）.16.（2019省市）如图，抛物线yx2+bx+c与直线yx+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC已知A（0，3），C（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MBMC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为
8、顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由17.（2019广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，三点（1）求，两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值18.（2019）如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线yx2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得APBOCB？若存在
9、，求出P点坐标；若不存在，请说明理由19.（2019）如图一，抛物线yax2+bx+c过A（1，0）B（3.0）、C（0，）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1y2，求P点横坐标x1的取值围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求FMN周长的最小值20.（2019）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的边BC在x轴上，ABC90，以A为顶点的抛物线yx2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对
10、称轴上（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿AB方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PDAB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由【例题1】（经典题）二次函数y=2（x3）24的最小值为 【答案】4【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答二次函数y=2（x3）24的开口向上，顶点坐标为（3，4）
11、，所以最小值为4【例题2】（2018）如图，AB是O的弦，AB=5，点C是O上的一个动点，且ACB=45，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 【答案】【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值如图，点M，N分别是AB，AC的中点，MN=BC，当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交O于点C，连接AC，BC是O的直径，BAC=90ACB=45，AB=5，ACB=45，BC=5，MN最大=【例题3】（2019）已知抛物线yax2bxc（a0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴
12、交于点C，OC3（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AMBC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ12QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由【思路分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P作PFAB于点F，交BC于点E，令P(m，m24m3)，易知直线BC的
13、解析式为yx3，则E(m，m3)，PE(m3)(m24m3)m23m再由SPBCSPBESCPE，转化为12PEOB123(m23m)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定SPBC的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQt，则CQ3t，AQ12QC，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作Q，则当Q过点A时，AQ12QCQ的直径最小）、二求（由 AQ12QC，解关于t的方程即可）【解题过程】（1）抛物线yax2bxc（a0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，令抛物线解析为ya(x1)(x3)该抛物线过点C(0，3)，3a(01)(03)，解得a1抛物线的解析式为y
14、(x1)(x3)，即yx24x3yx24x3(x2)21，抛物线的顶点D的坐标为(2，1)综上，所求抛物线的解析式为yx24x3，顶点坐标为(2，1)（2）如答图1，连接AD、BD，易知DADBOBOC，BOC90，MBA45D(2，1)，A(3，0)，DBA45DBM90同理，DAM90又AMBC，四边形ADBM为矩形又DADB，四边形ADBM为正方形图1（3）如答图2，过点P作PFAB于点F，交BC于点E，令P(m，m24m3)，易知直线BC的解析式为yx3，则E(m，m3)，PE(m3)(m24m3)m23m图2图3 SPBCSPBESCPE12PEBF12PEOF12PEOB123(m23m)32 (m32)2278，当m32时，SPBC有最大值为278，此时P点的坐标为(32，34)（4） 如答图3，设OQt，则CQ3t，AQ12QC，
