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1、第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等一、方法技巧1待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就或者b,c是利用了多项式f（x）g（x）的充要条件是：对于一个任意的x=a值，都有f（x）g（x）；两个多项式各关于x的同类项的系数对应相等.2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），从而使问题得到解决例如：“已知x由条件可知x2x2是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4,故可设2x43x3ax27xbx2x22x2mxn，可解出m、n,最后代入即可求
2、出a、b的值.由（1）可得结果52ax2bxc，求a,b,c的值解答此题，并不困难.只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a,的值.这里的a,b,c是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法.3. 格式与步骤:(1)确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：2ax2bxc(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这-一题中，恒等条件是：(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.a1-b0c5二、应用举例类型一利用待定系数法解决因式分解问题例题1】已知多项式2x43x32ax27xb能被xx2整除.1)求a,b2）分解因式：2x43x32
3、ax7xb答案】(1)a12和b6(2)2x43x312x27x6x2x22x25x3【解析】试题分析:试题解析:解:(1)T多项式2x433x2ax7xb能被x2x2整除?设2x43x32ax7xb2xx222xmxn，整理，得2x433x2ax7xb2x4m2x3mn4x2n2mx2nm23mn4a3n2m7代b2nm5解得b6?ab的值分别为12和6.(2)2x43x312x27x6x2x22x25x3考点：1.待定系数法因式分解2.整式乘法3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些
4、因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值难度】一般例题2】分解因式：2x25xy3y23x5y2答案】2x25xy3y23x5y2(2xy1)x3y2)【解析】试题分析：方法一因为2x25xy3y2(2xy)(x3y),因此,如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是(2x-y+m)(x3y+n),其中m、n为待定系数.然后展开，利用多项式的恒等，求出m、n的值.试题解析：解：T2x25xy3y2(2xy)(x3y),?设2x25xy3y23x5y2(2xym)(x3yn)m2nx3mnymn?即2x25xy3
5、y23x5y2(2xy)(x3y)对比系数，得:由、解得:代入式也成立.?2x25xy3y2试题分析:mn23-3m2n3mn5mn23x5y2(2xy1)(x3y2)万法二刖面同思路1,因为2x5xy3y3x5y22xyx3ym2nx3mnymn是恒等式，所以对任意x,y的值，等式都成立，所以给x,y取特殊值，即可求出m,n的值.试题解析:解：T2x25xy3y2(2xy)(x3y),25xy3y3x5y即2x2?设2x5xy3y3x5y2?该式是恒等式，?它对所有使式子有意义的x,2(2xy)(x3y)(2xy+m)(m2nx3mnymn?x3y+n)y都成立,那么令x0,y0得：mn2令
6、x0,y1得:3mn解、组成的方程组，把它们分别代入恒等式检验，得22?2x5xy3y3x5y2(2xy1)(x3y2)考点：1.待定系数法分解因式2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式.【难度】较难类型二利用待定系数法解决分式拆分问题【答案】12(X1)(X1)X122(x1)2(x1)【解析】_axbc1)(x1)x21x1试题分析：ax2x2(ac)x(ab)xbc2(x1)(x1)即(721)(x1)(ac)x(ab)xbc(
7、x21)(x1):X:xc1，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b、c的值即可.设(x21)(x1)试题解析：12(x1)2(x1)(x1)2(x1)比较分子，得考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为【例题4】计算:AxB形式，分母只含一次项，则设分子为常数1a9a10【答案】10aa10【难度】较难【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积(若a是整数)，所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题试题解析：解：我们设比较分子得：ABAa1BaABaAaa1a(a1)aa1所以ua9a10所
8、以，原式=丄a考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式一1丄一拆分.nn1nn1【难度】较难类型三利用待定系数法解决多项式中不含某项问题2 【例题5】已知x2mx33x2的积中不含x的二次项，则m的值是（）23A.0B.C.D.-32【答案】C【解析】试题分析：将多项式x2mx33x2展开、合并，按x的降幕排列，根据积中不含x的二次项等价于x2项的系数为零列方程即可求得m的值.试题解析：解:Tx2mx33x23x33mx29x2x22mx63x33m2x292mx6?积中不含x的二次项，3m20，解得m.3故选C.考点：多项式乘以多项
9、式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、实战演练1.若多项式3x125xy2y2x9yn能被3xy4整除，则n【答案】4【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商乂除式（余式为0）,其除式为3xy4即可试题解析:解：设原式3xy4x2ym3x25xy2y2+3m4x8my4m3m41比较系数，得：8m9n4m由，解得m1，代入得n4考点：因式分解的应用=商乂除式（余式为0）是解点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式题关键.2.分解因式：x4x3【答案】x42152x1)仁(xx1)(x2【难度】容易mn
10、【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公又因为不是二次三项式所以不适用十.因式，字相乘法；虽多于三项，但分组之后分解不能继续系此，我们应采用其他的办法一待定数法.这是一个四次五项式，首项系数为1,尾项也是1,所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列方程组求解即可?2解：设X4仁(X2mx1)(xnx1)而(x2mx1)(x2nx1)试题解析：m解得?-X4X3X2x1(x215x1)(x215x1)22考点：待定系数法因式分解？点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键【难度】容易3.分解因式：2a23ab9b214a3b2022【答
11、案】2a3ab9b14a3b20(2x3b4)a3b5【解析】试题分析：比较左右两个多项式的系数，得：m2n143m3n3mn20m解得厂n5?2a3ab9b214a3b20(2x3b4)a3b5方法二对于方法一中的恒等式(*)因为对a、b取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求n的值.m令a0,bo,得mn20令a1,bo,得m2n14令a0,b1,得mn1m解、组成的方程组，得20m当n?2a4_时，成立5(2x3b4)a3b51.待定系数法因考分解3ab9b214a3b2.整式乘法3.解方程组.属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法先分解2a23ab9b22a3b
12、a3b,再设原式2a3bma3bn,展开后,方法解:2a23ab9b22a3ba3b?可设原式2a3bmai3bn?原式=2a23ab9b2m2na即2a23ab9b214a3b202a用多项式恒等列方程组即可求解试题解析：3m3nb23ab9b2mnm2na3m3nbmn*定系数的方程组，点评：对于复杂的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待最后解方程组即可求出待定系数的值？【难度】较难4.已知f(x)表示关于x的一个五次多项式，若f2f1f0f10,f224,f3360，求f4的值.【答案】1800【解析】试题分析：因为f2f1f0f10，所以这个多项式中必有因式x
13、2、x1、x、x1，而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因式的乘积，故式的乘积，故这个多项式可以设为，利用待定系数法求出a、x2x1xx1axbb的值最后代入原多项式，即可求出f4的值.试题解析：解:f2f1f0f10，?设f(x)x2x1xx1axb由f224，f3360，可得方程组a2解得：-3?f(x)x2x1xx12x3?f46543(83)1800考点：1.解二元一次方程组2.多项式变形点评：此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键.【难度】较难5.m、n为何值时，多项式x45x211x2mxn能被x22x1整
14、除？【答案】m11，n4【解析】试题分析：由于多项式x45x211x2mxn能被x22x1整除，可设商为x2axb,再利用逆运算，除式x商式=被除式，利用等式的对应相等，可求出a,b.试题解析：解：设原式=x22x1x2axb=x4ax3bx22x32ax22bxx2axb=x4a2x3b2a1x2a2bxb对比系数，得:2a1112ba3n4解得:b4m11故m11，n4.考点：整式的除法点评：本题考查的是多项式除以多项式，式往往可转化成多项式乘以多项式.【难度】一般注意多项式除以多项6.x6整除，那么a若多项式x3ax2bx能被x5和b.该多项式因式分解为：【答案】【解析】试题分析:因为多项式x3ax2bx能被x5和x6整除，则说明x5和x6都是多项式QQx3ax2bx的一个因式，故设xaxbxx5x6xm，展开即可求解.试题解析:解：设x3ax2bxx5x6xmam11对比系数，得：b3011m30m0m0解得:a11b30
