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1、“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解 , 下面通过典型例子加以解决。例 1、 （ 1 ） 12 个相同的小球放入编号为 1， 2， 3， 4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（ 2） 12 个相同的小球放入编号为1， 2 ， 3， 4 的盒子中，问不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为 1， 2， 3， 4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种
2、？解： （ 1 ） 将 12 个小球排成一排，中间有11 个间隔，在这11 个间隔中选出 3 个，放上“隔板”，若把“ 1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C131 =165 种。1（2）法1:（分类）装入一个盒子有 C44种；装入两个盒子，即 12个相同的小球装21入两个不同的盒子，每盒至少装一个有 C4C1166种；装入三个盒子，即12个相同的小球32装入二个不同的忌子，母忌至少装一个有C4C11 =220种；装入四个盒子，即 12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有C131165 种
3、; 由加法原理得共有4+66+220+165=455 种。法 2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12 个小球任意装，即 16 个小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C135455 种。（ 3） 法 1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩 2 个小球，则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子，共有C41C4210种。法 2：先给每个盒子装上比编号小1 的小球，还剩 6 个小球，则转化为将6 个相同的小球装3入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310由上面的例题可以看出法2 要比法 1 简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。例 2、（1 ）方程
4、x1x2x3x410 的正整数解有多少组？（2） 方程 x1 x2 x3 x410 的非负整数解有多少组？（ 3）方程 2x1 x2x3Lx103 的非负整数整数解有多少组？解：（1 ）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，有C9384 种，所以该方程有84 组正整数解。（ 2） 转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，有C133286 种，所以该方程有 286 组非负整数整数解。（ 3 ） 当 x10 时，转化为 3 个相同的小球装入 9 个不同的盒子，
5、可以有空盒，有C131165 种。1当 x11 时，转化为 1 个小球装入 9 个不同的盒子，可以有空盒，有C9 =9 种；所以该方程有165+9=174 组非负整数整数解。例 3、已知集合 ，选择 的两个非空子集 A, B ，且 A 中最大的元素比B 中最小的元素小，则选择方法有多少种？解：由题意知 A, B 的交集是空集，且 A, B 的并集是 的子集 C ，所以 C 至少含有两个元素，将 C 中元素按从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边的给A ，后边的给B ， A, B 至少含有 1 个元素，设C 中有 n 个元素，则转化为n 个相同的小球装入 2 个不同的盒子，则有Cn1种装法，故本题有C52C53C21C54C31C55C4149种选择方法。总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”。若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为 0 个时，向每组元素数目至少一个的模型转化，然后用“隔板”法加以解决。
