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1、微分中值定理，作为微分学中的重要定理，是微分学应用的理论基础，是微分学的核心理论。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。它们是沟通倒数值 与函数值的桥梁，是利用倒数的局部性质推断函数的整体性质的工具。其中拉格朗日中值定理是核心，从这些定理条件和结论可以看出罗尔定理是其特殊情况，柯西定理和泰勒定理是其推广。本文着重讨论的就是拉格朗日中值定理的证明人们对微分中值定理的研究，大约经历了两百多年的时间。从费马定理开始，经历了从特 殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段。人们正式在这一过程中，逐渐认识 到微分中值定理的普遍性。一、利用构造函数方法证明（一）利用构造函数
2、方法证明（小四号黑体）微分中值定理的证明方法很多，一般来说都是通过构造辅助函数来完成的，但是如何构造辅助函数却是一个难点问题。下面针对构造辅助函数的方法分别从几何和分析角度加以分析。1.分析法（五号黑体）由于柯西、拉格朗日中值定理和罗尔中值定理之间存在着一般与特殊的关系，所以证明拉格朗日和柯西中值定理的方法可以利用罗尔中值定理来实现。下面就从分析的角度构造出辅助函数的若干方法。（1）原函数构造法（五号宋体）为了利用罗尔定理来推证，以从后向前推得思路， 构造一个函数使它满足罗尔定理的第三个条件，同时又能从罗尔定理结论中推导出来拉格朗日中值定理的结论。要从罗尔定理的结论F 0中推出拉格朗日定理的结
3、论, f b f a显然只需要ff b fab a由于一次函数的倒数是常数，可以猜想出(或通过两边积分)得到辅助函数应为其中c为常数。由验证可知。它满足罗尔定理三个条件。为计算方便起见，可取(2)参数变异法目的仍然是构造一个函数F (x)且满足F(a) F(b).这时若令F(x)f (x)Ak(xB)其中A和B是任意实数，那么F(a)f(a)Ak(aB)F(b)f (b)Ak(bB)要使以上两式相等，只需f(a) ka f(b) kb .故仍然可设参数f(b) f(a)b a由此所得F(x)即可满足要求。(3 )行列式法由于要求故可根据行列式的性质，设F(a) F(b)，a f(a)1F(x)
4、 b f (b)1x f (x)1如此得到的辅助函数满足F(a) F(b) 0.(4)利用弦倾角法目的同前。设连接连续曲线L: x, f (x) a x b两端点A和B的弦为AB （图1）,其倾斜角为 ，则2 2tan Sf (b)f (a)cos b a也即有a sinf (b)cos bsin f(a)cos所以可令F (x) f (x) cos xsin如此所得辅助函数 F (x)即满足要求。首先介绍拉格朗日中值定理以及它的预备定理一一罗尔定理。首先，我们观察图(3-1 )。设下图是函数y f(x)(x a,b)的图形。除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两个端点的纵坐标轩昂等，即f(a
5、) f (b).可以发现在曲线弧的最高点C处或最低点D处，曲线有水平的切线。如果记C点的横坐标为，那么就有f0.现用分析言语把这个几何现象表述出来。就可以得到下面的罗尔定理，为了应用方便，先介绍费马(Fermat)引理。费马引理设函数f (x)在点xo的某临域U(x。)内有定义，并且在xo处可导，如果对任意的x U (xo)，有f (x)f (xo)(或f (x) f (xo),那么 f (xo) o.证 不妨设x U (xo)时，f (x) f (xo)(如果f(x)f (xo)，可以类似地证明)。于是，对于Xox U (xo),有f (xox)f (xo),从而当 x o时，f(XoX)
6、f(Xo) o；x当x o时，f(xoX) f(Xo) ox根据函数f(x)在Xo可导的条件及极限的保号型，便得到f (xo) f (xo)lim f(Xo X) f(Xo) o,x oxf (XoX) f (Xo)f (Xo)f (Xo)lim - 0,x oX所以，f (xo) o.证毕。通常称倒数等于零的点为驻点(或稳定点，临界点)。(罗尔中值定理) 若函数f满足如下条件:(1) f在闭区间a,b上连续；(2) f在开区间(a,b)上可导；(3) f(a) f (b)，则在(a,b)内至少存在一点，使得f ( ) o.罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端
7、点高度相等,则至少存在一条水平切线(图1-1 )证 由于f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理，f(x)在闭区间a,b上必定取得它的最大值和最小值，分别用 M和m表示，现在分两种情况来讨论：(1 )若m M，则f (x)在a,b上必然取相同的数值 M : f (x) M.由此， x (a,b)， 有f (x) 0.因此，任取(a,b),有f ( ) 0.(2)若m M，因为f(a) f(b)，所以最大值 M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点 处取得。从而 使f得极值点.由条件(2)，f在 处可导，故由费马定理推知f ( ) 0注 定理中的三个条件缺少任何一个，
8、结论将不一定成立2罗尔定理中f(a) f (b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制。如果把 f(a) f (b)这个条件取消，仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学中 十分重要的拉格朗日中值定理。(拉格朗日中值定理)若函数f满足如下条件：(1) f在闭区间a,b上连续；(2) f在开区间(a,b)上可导，则在(a,b)内至少存在一点，使得 f b f a f.( 2)b a显然，特别当f (a) f (b)时，本定理的结论即为罗尔定理的结论(1)，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形.证作辅助函数F(x) f(x) f(a) f(b) f(a)(x a).b a显然，F(a) F(b)( 0),且在a,b上满足罗尔定理的另两个条件.故存在 a,b ,使F ( ) f ( )血 0,b a移项后即得到所要证明的(2)式.拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线 y f(x)上至少存在一点 P( , f (),该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的辅助函数F(x)，正是曲线y f (x)与直线AB(y f (a)丄(x a)之差(图3)b a（正文内容均为五号宋体）（一级标题段前段后的间距为1.5行；二级标题段前段后的间距为 0.5行）
