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1、 5.1向量空间的概念教学目的通过学习本节内容，要求学生从给出的几个例子中抽象出它们的共性，从而得到向量空间的概 念，再通过训练进一步加深学生对向量空间的理解，掌握向量空间的一些简单性质教学难点向量空间的概念教学重点向量空间的概念和性质教学课时教学过程备注教学 引入例1在平面上建立直角坐标系后， 把从原点出发的一切向量构成的集合记为V2.我们知道，对 W中任意向量X和Y,利用平行四边形法则，有 X+Y仏对任意实数k 以及V2中任一向量X,有kX W2.并且对任意的 X Y Z U, a, b R有1) X+Y= Y+X;2) ( X+Y +Z= X+( Y+Z ;3) 0+X= X,其中0是V
2、中的零向量；4) X+( X) = 0,其中一X是X的负向量；5) a( X+Y) = aX+aY；6) (a+b) X= aX+bX;7) (ab) X= a( bX)；8) 1 X= X.例2设V- Fnx是全体次数不超过 n的文字x的系数在F中的多项式连同零多 项式的集合.对任意两个多项式f(x), g(x) V,容易知道，f(x)与g(x)的和f(x)+g(x) 是零多项式或次数仍不超过n,因此f(x)+ g(x) V又对F中的任意数k,乘积kf (x)是零多项式或次数仍不超过n.因此k f (x) V.并且，对V中任意多项式f (x), g(x), h (x)及F中任意数a, b,有
3、1) f (x)+g(x) -g(x)+ f (x)；2) ( f (x)+g(x)+ h(x) -f (x)+( g(x)+ h(x)；3) 0+ f (x) - f (x), 0 是V中的零多项式；4) f (x)+( f (x) - 0；5) a(f (x)+g(x) - a f (x) + ag(x)；6) ( a+b)f (x) -af (x)+bf(x)；7) ( ab)f (x) - a(bf(x)；8) 1 f (x) - f (x).例3设A- ( a, b, c)| a , b, c R且a+b+c- 0，这个 A实际上就是方程 X1+X2+X3 0在头数域R上的全体解向量
4、构成的集合.对于A中任意两个兀素(a, a2,as),(b1,b2,b3),因为它们都是方程X1+%+X3- 0 的解向量，所以ar+a2+a3-0,b1+b+b30,于是这两个解的和(a1+b, a2+b2, a3+b3)仍是方程X1+X2+X3-0的解向量.又方程 X1+X2+X3- 0的任一解向量(a1, a2, a3)的k( k R)倍(ka1, ka2, ka3)仍满足该方程，因 此(ka1, ka2, ka3)仍是方程X1+X2+X3- 0的解向量.并且加法与数乘运算也满足类似于 例1中的1) 8).由上面例子可以看出，虽然考虑的对象不冋，但可发现它们有许多共冋的性质， 那就是它们
5、都有加法和数乘两种运算，并且这两种运算都满足条件1) 8).当然不冋的对象，这两种运算的定义不冋.将这些共冋的属性抽象出来，就得到向量空间的概念一、向量空间的概念教学 内容定义1设V是一个非空集合，F是一个数域.我们把V中的兀素用小写希腊字 母，来表示，把 F中的兀素用a, b, c,来表示.如果下列条件被满足， 就称V是F上的一个向量空间：1 V有一种加法运算即对V中任意两个兀素 和，在V中有一个唯一确定的兀 素与之对应，称为 与的和，记为 ？.2有一个F中元素与V中元素的乘法运算.即对于F中的任意数a和V中的任意 元素，在V中有一个唯一确定的元素与之对应，称为a和 的数量积，记为a?.3上
6、述加法和数量乘法满足下列运算规律：1) ? ?；2) ( ? ) ? = ?( ?);3) 在V中存在一个元素 ，使得对于任意V,都有 ？(具有这个性质的元素称为V的零元素)；4) 对于V中的每一个元素 ，存在V中的元素，使得 ？=(具有这个性质 的元素叫做的负元素)；5) a?(? ) a?a?；6) (a b) ? a ? ?b ?；7) a?(b? )(ab)?；8) 1? .这里，是V中的任意元素，a, b是F中的任意数.通常把向量空间V中的元素叫做向量，把 F中的元素叫做标量或数量.向量空间 V的零元素叫做 V的零向量，V中向量 的负元素叫做 的负向量.在定义1里，1中 给出的运算叫
7、做向量的加法，2中给出的运算叫做数量与向量的乘法，或简单地说成是数量乘法.由定义1,例1,例3中的集合Va, A都是实数域R上的向量空间.例2中的Fnx 是数域F上的向量空间.例4在解析几何里，空间中从坐标原点出发的三维向量，对向量的加法和数量 乘法运算作成一个向量空间，记作M,称为三维几何空间.例5数域F上全体mn矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的乘法，构成F上的一个向量空间，记作 Mmn(F).特别地，Mnn(F)简记为M ( F).特别地，数域F上一切1 n矩阵所成的集合和一切 n 1矩阵所成的集合分别作成 F上的向量空间，分别称为 n元行空间与n元列空间，都记作 Fn (以后遇到时，根据上
8、下文来区分)例6令Ca, b为闭区间a, b上所有实连续函数的集合，R为实数域，则C a,b是实数域R上的向量空间.事实上，两个连续实函数的和、实数与连续实函数的积 仍是连续函数，并且算律 1) 8)都成立.例7复数域C可以看成实数域 R上的向量空间.事头上，两个复数的和还是复数；一个头数与一个复数的乘积还是复数，算律1)8)显然都被满足.例8设V= ，定义?= ? k ? = ,k F.可以验证V对这两种运算满足定义中的1) 8),因此V是F上向量空间，是V的零向量.像这种由一个零元素作成的向量空间称为零空间例9设V为正实数集，R为实数域，在 V中规定加法和纯量乘法运算如下：?=(即与的积)
9、k? = k(即的k次幕)其中，V k R则V是R上的向量空间这是因为：首先，k V.其次，算律1) , 2),5)8)都显然成立.又因为 ?1 =1 =,? 1 =丄=1,1所以1是V的零向量，丄是 的负向量因此，V是R上的向量空间例10令V是次数等于n的关于文字x的全体实系数多项式构成的集合 .在多项 式的加法及数与多项式的乘法运算下， V不是向量空间这是因为两个n次多项式的和 未必是n次多项式.例如，f (x) =x -1, g(x) =-x +x，贝U f (x) + g(x)不再是n次多 项式二、向量空间的一些简单性质命题5.1.1零向量是唯一的.证设和都是向量空间V的零向量，则对任
10、意的V,有 ？ = ,?=.于是= ? = .因此，零向量是唯一的.口命题5.1.2向量空间V中每一个向量 的负向量是唯一的.证设1和2都是的负向量，贝U 1 ? = ,2?=.于是1 = 1 ? = 1 ? ( ? 2) = ( 1 ? ) ? 2= ? 2= 2. 我们把向量的唯一的负向量记作一利用负向量，定义向量的减法为：? =?().命题5.1.3 对F上向量空间V中的任意向量，F中任意数k,有0?= , k?=,(1)?=-.证因为1?=，所以0? ? = 0? ? 1? = (0+1) ? = 1 ?=.两边加上，即有0?=.又，k? ? k? = k?(? ) = k?,两边加上
11、(k?)，有 k?=.再证第三个等式.显然? ( 1)? = 1? ? ( 1)? = 1+( 1) ? = 0?=.两边加上-，即得(1)? =- . 命题 5.1.4 若 k ?=，贝U k= 0，或=.证假设k 0,贝U11, x 1=1 ? = k ? = ?( k ? ) = ? = . kkk通常情况下，只要不引起误会，我们把F上向量空间V的加法、数量乘法的运算符号分别用“ +”、“ ”表示，且数量乘法符号“”可省略.于是？ 就记为+ ； k?就记为k，而向量空间中的零向量就记为0.值得注意的是，向量空间中的兀素叫做向量，但是这里所讲的向量比几何空间中 向量的涵义要广泛得多.另外，向量空间中的运算叫做加法，数量乘法，但这两种运 算未必就是数的加法与数的乘法运算.事实上，每个向量空间都有它自己的加法及数量乘法运算.因此，我们不仅在向量空间定义中采用了抽象的加法与数量乘法的运算 符号，而且要意识到向量加法与数量乘法运算是向量空间的重要组成部分.所以，我们可以简单地把向量空间理解为具有两种运算且满足一定运算规律的非空集合教学本节内容主要讲解以下两个冋题：小结1.向量空间的定义2向量空间的简单性质本节 作业本节 教育 评注
