《上极限和下极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上极限和下极限（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定理7.4有界数列至少存在一个聚点，且存在最大聚点和最小聚点lim。证明：先证明存在性：在证明有界数列至少存在有个聚点的时候，是利用区间套定理证明的。讲数列无限等分，且每次都选取一个含有无穷多项的数列，记为4,61,最后我们能够得到一个闭区间套。满足下列性质：bn,bn丨：ni,bn.11,m3n-bn=0n=1.,2,3并且每个区间都含有数列的无穷多项。所以根据区间套定理我们知道必然存在一个点匚三lan,bnI,并且由区间套定理的推论知道对任意的:0,存在N0,当nN时有-lan，bjU，即在U;；的邻域里有数列；的无穷多项，那么根据聚点定义可以知道是数列:x/J的聚点。再证明存在最大聚点和
2、最小聚点：我们在证明聚点的存在性的时候，选用的区间套是只有【区间套所含的有数列xj的无穷多项】，现在我们要求在选取区间套的时候，先从右边的子区间开始考察选取，如果有子区间含有数列鳥的无穷多项，那么久选定它作为区间咕,01,若果右边的子区间不含有数列的无穷多项的话，就令左边的子区间为lai,bi1,依次类推，我们可以的到一个区间套n,bn1,n-1,2,3。同时该区间套还满足下面的特点：ln,b:ni,bnJ；叫务-5=0n=1,2,3每个区间n,bn1的右边至多含有该数列的有限多项。（含有有限个或者是没有）现在我们根据存在性的证明知道存在一个聚点,现在我们假设还有另外一个聚点1，同时i那么我们
3、根据区间套的推论对任意的；0,存在N0,当nN时有-n,bn1U1；，又有在n,bn1的右边至多含有数列的有限多项。也就是在：；的邻域的右边至多含有数列fxj的有限多项。那这就与位于右边的1是数列;的聚点相矛盾。那么就说明1不是聚点。也就是是数列;的最大聚点。下证，最小聚点。类似于最大聚点的证明，我们现在只需要每次优先选择左边的子区间。其他的步骤类似。那么我们最后得到的一个区间套有下面的一些特点：a,bn丨-：di,bn1丨liman-bn=0n-1,2,3并且每个区间套an,bn1的左边至多含有数列fxj的有限多项。现在假设另一点2也是数列G的聚点。同时有20,存在N0,当nN时有-eBn,bnU；，又有在bn,bnl的左边至多含有数列xj的有限多项。也就是在的邻域的左边至多含有数列汶的有限多项。那这就与位于左边的2是数列的聚点相矛盾。所以是最小聚点。匚
