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1、第三章 粘性流体运动方程的精确解自从建立了以Navier-Stokes方程为核心的粘性流体运动方程组，人们就开始致力于寻 求在各种定解条件下粘性流体运动方程的精确解。精确解对于深入认识和分析流体运动规律具 有重要意义，它也为检验各类数值方法的可靠性和精确度提供重要的依据，作为基本流场的精 确解也是流动稳定性分析的出发点。Navier - Stokes方程是一个非线性的二阶偏微分方程，在许多情况下，求粘性流体运动 的精确解是一件非常困难的工作。迄今为止，可以得到精确解的流动例子非常有限本章首先介绍平行剪切流，由于这时Navier- Stokes方程的非线性项为零，寻求这一类 流动的精确解，数学上
2、处理起来比较容易。然后将讨论包含有非线性项的Navier - Stokes方 程精确解的几个著名例子。3.1平行平板间的定常剪切流2h图3.1平行平板间的剪切流考虑相距 2h 的两块无限大平行平板，下板静 止，上板沿水平方向以匀速U运动。平板间的不可 压缩粘性流体在恒定的压力梯度 dp/dx 和运动平板 的作用下沿x方向作定常运动。在图3.1所示的直角坐标系中，流体运动速度只有沿x方向的分量u，并且只是坐标y的函数。这 里流线相互平行，称为平行剪切流。连续方程自动(3.1.1)满足，由于非线性项为零，N S方程(2.5.11)在x方向的投影为 dpd 2u0二一 +卩dxdy 2边界条件u(一
3、 h/= 0， u(h/= U(3.1.2)将常微分方程(3.1.1)积分两次，并利用边界条件确定积分常数可得到速度分布h 2 dp2卩dx( 、1兰U+ fl + 兰1 h 2 J21 h丿(3.1.3)其中第一部分是由于压力梯度引起的，为抛物线分布，与流体粘性系数有关；第二部分是由于 平板运动引起的，为线性分布，与流体粘性系数无关。(3.1.4)根据速度分布可以求出通过单位宽度平板间的体积流率 h2h 3 dpQ = J udy =+ Uh3卩dx平均流速是(3.1.5)u = Q =匕 dP +1U2h3卩 dx 2相应的切应力殴于N - S方程精确解的详细述评可见参考文献2。yx二 y
4、 dP +卩 U dx2h(3.1.6)当dp/dx 卩。这2 1 2 2 1 时动量方程仍是方程 (3.1.1)，求解时以流体的界 面为界将流场分成两个区域，积分后共有四个积 分常数需要确定，除了原有的两个固壁边界条件 外，在界面处增加 速度和切应力连续 的两个条 件，便可解得速度分布图 3.2 平行板间的分层剪切流卩U2卩 5 + p 51 2 2 1y,V 二(y-5 -5 )+ U2 p5 +p5 211 2 2 1(3.1.7)粘性大的流体层速度梯度较小。应该特别指出的是，在流体的界面处，两侧流场的涡量是不连 续的。3.2同轴圆筒间的定常流3.2.1同轴旋转圆筒间的Couette流考
5、虑两个同轴圆筒间的粘性流体，内筒的外 径为 a ，外筒的内径为 a 。圆筒作匀速旋转，角 12 速度分别为。和。旋转式圆筒型粘度计内的 12 流动可归入这一类流动(见图3.3)。假定圆筒足够长，可以忽略圆筒底部壁面的 影响。在筒壁(带动下) 流体作轴对称定常运动，引 入柱坐标系(r,0 ,z)。本问题的流场中，流体运动2速度只有沿9方向的一个分量岭=u,速度只与图 3.3 同轴圆筒间的流动坐标r有关。这时，连续方程自动满足，N-S方程的非线性项为零，在0方向上的投影式(2.5.15b)可简化为(3.2.1)满足筒壁边界条件r = a , u = a O1 1 1(3.2.2)的速度分布为r=a
6、 , u=a O2 2 2(3.2.3)u 二a 2 - a 221由(2.5.18)得到涡量场r (0 a 2 -0 a2 )+ - (0 -0 )2 2 i i r ia2a22 2 1(3.2.4)1 d(ru )2a 20 a 2) 2 2 11z rdra 2 - a 221(3.2.5)它的特点是与 r 无关。在两种情况下涡量场为零，其一是内外筒半径和旋转角速度满足关系0 a2 0 a 2 K 时，这是涡量场变号的临界情况，这时的速度分布为 u K / r 。其二是 1 1 2 2在0 0的同时让a Ts，这时速度分布退化为u -。a2/r，这相当于一个涡核半径为2 2 1 1a
7、的位势涡；根据123节的分析，其涡量为零是由于流场中曲率涡量和切变涡量正好相互抵消 的结果。进一步计算切应力I dr竺咱；(0 -0)r2 a2 - a22121(3.2.6)这表明内筒壁面上受到的摩擦切应力较大，外筒壁面上受到的摩擦切应力较小。但是在单位长 度的圆筒面上，内外筒面受到的摩擦力矩是相同的，等于-0 )1a2a21_2a 2 - a 2(3.2.7)21上式表明，只要给定内外圆筒的半径和角速度，通过测定圆筒受到的摩擦力矩就可以确定出流 体的粘性系数，式(1.1.9)给出的是它的一种特殊情况。3.2.2 同轴圆筒间的轴向流仍考虑图5.3所示的同心圆筒，边界条件变为外管固定，内管以匀
8、速U沿轴向运动，轴向 压力梯度为dp/dz，流体速度仅有沿轴向的一个分量，只是坐标r的函数。在柱坐标系中，速 度可表示为V u ()。这时连续方程自动满足，考虑到流动的轴对称性，N-S方程在z方 z 向上的投影为0-dP + 卩dzd2u 1 du +、dr2r dr丿(3.2.8)其中对流项为零，方程是线性的。筒壁上的边界条件是ra,1r a ,2u Uu 0满足边界条件的速度分布解为1 dp u 4卩dzln (r / a )ln耳(3.2.9)(3.2.10)(3.2.11)其中n = a /a。21当内圆管也静止时，为同轴圆筒间的Poiseuille流，可求出最大速度发生在位置(3.2
9、.12)最大速度值为1 dp4卩dz一 a 2 + r 21mr 21 一 In mia2 丿一(3.2.13)3.3 充分发展了的管流 直管道中流体的运动是一个具有实际应用背景的问题。本节讨论充分发展了的管流，即无限长管道中的Poiseuille流。有关管道入口段的流动和管内流动的起动过程将在以后的有关章 节中讨论。3.3.1圆管中的Poiseuille流采用柱坐标系(r, e , z)，z轴与圆管的轴线重合。流体在轴向压力梯度下作定常运 动，速度只有沿z轴方向的分量，只与坐标r有关V = u(r)。这时连续方程可自动满足，动量 方程中的对流项C -V )V = u(ue )= 0。 N -
10、 S方程在z轴上的投影为dzz1 d_ rr dr i dr 丿1 dp卩dz(3.3.1)管壁上的边界条件是u|= 0r=a(3.3.2)方程(3.3.1)可以直接积分，满足管壁粘性边界条件的速度分布为u =丄也(r2 -a2) 4卩dz(3.3.3)由速度场可求出体积流率Q = fu 2兀 rdr 亠也 f (r 2 - a 2 )rdr =-也竺 2 dzdz 800称为Hagen-Poiseuille公式，平均速度则为(3.3.4)_ Qa 2 dp1u = = u兀a28y dz 2 max(3.3.5)流体的切应力可由速度分布(3.3.3)式得到dur dpT = U=dr2 dz
11、在壁面上达最大值。管壁的摩擦应力是a dp4yUT w 2 dza(3.3.6)(3.3.7)当压力梯度不变时，它与管径成正比。无量纲的表面摩阻系数定义为T 16c wfpu 2 / 2 Red(3.3.8)它仅与雷诺数Red 2apu/卩有关。工程中将管道的无量纲阻力系数（Darcy系数）定义为dp2adz pu 2 / 264Re(3.3.9)3.3.2矩形截面管中的Poiseuille流在有些情况下，也会遇到非圆形截面的管道， 本节讨论矩形截面管内的流动。在图 5.4所示的直角坐标系中，已知管内的压力 梯度dp/dx、矩形管截面的尺寸2a x 2b。流体运动 速度仍只有沿 x 轴方向的一
12、个分量，但它是两个坐 标 y 和 z 的函数。这时连续方程自动满足，动量方程 的对流项为零。考虑到流动定常，描述该问题的 N-S方程在x方向的投影为图 3.4 矩形截面管及坐标系x固壁的粘附边界条件为0-dP +卩dxd 2U+dy2dz2 丿(3.3.10)u|y a0, u0(3.3.11)将解写成平行平板间Poiseuille流动分布的修正形式1 dp （u y 2 - a 22卩dxz+b(3.3.12)其中f （y,z）是一待定函数。代入方程（3.3.10）后，得到(3.3.13)竺+竺0dy2dz 2边界条件相应变为f - 0,y afL bd (a 2 - y 2)(3.3.14
13、)用分离变量法求解方程（3.3.13），令代入3.3.13)式后得到方程3.3.16)方程3.3.17)f( y,z) = Y( y)Z( z)满足边界条件的解为的解为Y +九 2Y = 0Z 一九 2 Z = 0Y = A cosnZ = C coshnn = 0,1,2,考虑到边界条件（3.3.14）最后有尹 32 (-1+1+ 乙cos(2n +1兀3n=0cosh(2n +1)2兀zV 2a丿cosh(2n +1 3 兀bV 2a丿其中U =-竺 dPm2 卩 dx(3.3.15)(3.3.16)(3.3.17)(3.3.18)(3.3.19)(3.3.20)(3.3.21)为二维Poiseuille流的速度最大值。该解为一个三角函数和双曲函数的无穷级数的求和。3.3.3椭圆截面管中的Poiseuille流取直角坐标系x轴与管轴方向一致，已知管内的压力梯度dp/dx，速度只有x方向的分 量V = u（y,z）。参见图3.4，管截面取成椭圆。xN-S方程在z方向的投影为在椭圆边界dpdx
