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1、第三章 柯西定理 柯西积分掌握内容:1.柯西积分定理:若函数在围线C之内是处处解析的,则。2.柯西积分定理的推广:若函数在围线C之内的点不解析,则,其中是分别以为圆点,以充分小的为半径的圆。3.若在围线C之内存在不解析点,复变函数沿围线积分怎么求呢?运用柯西积分公式。柯西积分公式:若函数在围线C之内,函数在围线C之内是处处解析的,则4.柯西积分公式的高阶求导公式:若函数在围线C之内,函数在围线C之内是处处解析的,则习题:1.计算积分积分路径是直线段。解:令,则积分路径如图所示:在积分路径上:,所以2.计算积分。积分路径分别是:(1)直线段,(2)右半单位圆,(3)左半单位圆。解:(1)令,则,
2、在积分路径上,所以(2)令,在积分路径上:(3)令,在积分路径上:5.不用计算,证明下列分之值为零,其中为单位圆。(1),(2),(3),解:(1)因为函数在单位圆所围的区域内解析,所以。(2)因为函数在单位圆内解析,所以。(3)因为函数的不解析点不包含在单位围线之内,所以由柯西积分定理有:6.计算,。解:(1)由柯西积分公式:,其中,在围线内。,所以(2)被积函数在复平面上不是解析函数,所以不能用柯西积分定理和柯西积分公式,其积分值与积分路径有关。根据积分路径,令,则(3)被积变量为,根据积分路径,令,则:(4)根据积分路径,令,7.由积分之值,证明,其中C取单位圆。证明:因为被积函数的奇点
3、在积分围道外,故,现令,则在上,比较可得:8.计算:(1) 。解: 。10.设表圆周,求。解:设,它在复平面内解析,故当时,则由柯西积分公式有:所以。11.求积分从而证明:。解:由于,函数在处不解析令则故所以即13.设,利用本章例5验证柯西积分公式以及柯西求导公式提示:把写成。证明:设,则式的右边为可写为: 由柯西积分定理有:所以右边即左边=右边。再由式子可知当时成立。假设当时等式成立。则当时成立。所以14.求积分(1),(2),其中解:(1)被积函数有奇点,该奇点在积分围道内,由柯西积分求导公式有:(2)先用柯西积分定理的推广式,把对围线C的积分变成对围线C1和围线C2的积分,然后再用柯西积分公式的高阶求导。