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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项:1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效4考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1为正实数,为虚数单位,则A2 B C D12已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若,则AM
2、 BN CI D3已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,则线段AB的中点到y轴的距离为A B1 C D4ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=,则A B C D5从1,2,3,4,5中任取2各不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(BA)=A BC D6执行右面的程序框图,如果输入的n是4,则输出的P是A8B5C3D27设sin,则A B C D8如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC
3、与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角9设函数,则满足的x的取值范围是A,2 B0,2 C1,+ D0,+10若,均为单位向量,且,则的最大值为A B1 C D211函数的定义域为,对任意,则的解集为A(,1) B(,+) C(,)D(,+)12已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,则棱锥SABC的体积为A B CD1第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答第22题-第24题为选考题,考生根据要求做答二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13已知点(2,3)在双曲线C:上,C的焦距为4,则它的离心率为14调查了
4、某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程:由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加_万元15一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为,它的三视图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 16已知函数=Atan(x+)(),y=的部分图像如下图,则三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)已知等差数列an满足a2=0,a6+a8=-10(I)求数列an的通项公式;(II)求数列的前n项和18(本小题满分12分)如图
5、,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=PD(I)证明:平面PQC平面DCQ;(II)求二面角QBPC的余弦值19(本小题满分12分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙(I)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望;(II)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:品种甲4033973904043
6、88400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?附:样本数据的的样本方差,其中为样本平均数20(本小题满分12分)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线lMN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D(I)设,求与的比值;(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BOAN,并说明理由21(本小题满分12分)已知函数(I)讨论的单调性;(II)设,证明:当时,;(
7、III)若函数的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:(x0)0请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑22(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED(I)证明:CD/AB;(II)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆23(本小题满分10分)选修4-4:坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C2的参数方程为(,为参数)
8、,在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:=与C1,C2各有一个交点当=0时,这两个交点间的距离为2,当=时,这两个交点重合(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;(II)设当=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当=时,l与C1,C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积24(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数=|x-2|x-5|(I)证明:3;(II)求不等式x2x+15的解集参考答案评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2对计算题,当考生
9、的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4只给整数分数,选择题不给中间分.一、选择题15 BACDB 610 CADDB 1112 BC二、填空题132140.2541516三、解答题17解: (I)设等差数列的公差为d,由已知条件可得解得故数列的通项公式为5分 (II)设数列,即,所以,当时,所以综上,数列12分18解:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立
10、空间直角坐标系Dxyz. (I)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).则所以即PQDQ,PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC,所以平面PQC平面DCQ. 6分 (II)依题意有B(1,0,1),设是平面PBC的法向量,则因此可取设m是平面PBQ的法向量,则可取故二面角QBPC的余弦值为12分19解: (I)X可能的取值为0,1,2,3,4,且即X的分布列为4分X的数学期望为6分 (II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:10分由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的
11、样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.20解:(I)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设设直线,分别与C1,C2的方程联立,求得4分当表示A,B的纵坐标,可知6分 (II)t=0时的l不符合题意.时,BO/AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即解得因为所以当时,不存在直线l,使得BO/AN;当时,存在直线l使得BO/AN. 12分21解: (I) (i)若单调增加. (ii)若且当所以单调增加,在单调减少. 4分 (II)设函数则当.故当,8分 (III)由(I)可得,当的图像与x轴至多有一个交点,故,从而的最大值为不妨设由(II)得从而由(I)知,12分22解: (I)
12、因为EC=ED,所以EDC=ECD.因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以EDC=EBA.故ECD=EBA,所以CD/AB. 5分 (II)由(I)知,AE=BE,因为EF=FG,故EFD=EGC从而FED=GEC.连结AF,BG,则EFAEGB,故FAE=GBE,又CD/AB,EDC=ECD,所以FAB=GBA.所以AFG+GBA=180.故A,B,G,F四点共圆 10分23解: (I)C1是圆,C2是椭圆. 当时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3. 当时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1. (II)C1,C2的普通方程分别为 当时,射线l与C1交点A1的横坐标为,与C2交点B1的横坐标为当时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,因此,四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B2B1的面积为10分24解: (I) 当 所以5分 (II)由(I)可知, 当的解集为空集; 当; 当. 综上,不等式10分内容总结(1)当. 综上,不等式