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1、空间几何体的表面积和体积一课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。二命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式
2、；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三要点精讲1多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长lS侧+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底h正棱锥ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台 (c+c)h表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，l表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)
3、4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。四典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.例2如图1所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图1 图2题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这
4、个长方体对角线的长是（ ）A2 B3 C6 D例4如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _。PABCDOE题型3：锥体的体积和表面积（2015湖北卷3）用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为A. B. C. D.例6（2015北京，19）（本小题满分12分）ABCMPD如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，（）设是上的一点，证明：平面平面；（）求四棱锥的体积ABCMPDO题型4：锥体体积、表面积综合问题例7ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC
5、垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFG的距离？例8（2015江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）AS1S2CS1=S2 DS1，S2的大小关系不能确定题型5：棱台的体积、面积及其综合问题例9（2015四川理，19）（本小题满分12分）如图，面ABEF面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90，BCAD，BEAF，G、H分别是FA、FD的中点
6、。()证明：四边形BCHG是平行四边形；()C、D、E、F四点是否共面？为什么？()设AB=BE，证明：平面ADE平面CDE.GHFEDCBA例10（1）（2015四川理，8）设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂线于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( )（）（）（）（）例11（2015四川文，12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于()（）（）（）（）例12如图99，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=。题型7：圆锥的体积、表面积及综合问题图例13已知过球面上三点
7、的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。例14如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。题型9：球的面积、体积综合问题例15（1）表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。题型10：球的经纬度、球面距离问题例19（1）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？（地球半径大约为）（2）在半径为的球面上有三点，求球心到经过这三点的截面的距离。例16在北纬圈上有两点，设该纬度圈上
8、两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离。31、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.32、一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积与的函数关系式,并求出函数的定义域. (12分)33.已知两个几何体的三视图如下，试求它们的表面积和体积。单位：CM图（2图（1）34.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M，高4M。养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐。现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原
9、来大4M（高不变）；二是高度增加4M(底面直径不变)。（1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3） 哪个方案更经济些？35 （14分）（如图）在底半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.36.(2015年广东省惠州市高三调研)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AEDE.(1)求此正三棱柱的侧棱长；(2)正三棱柱ABCA1B1C1的表面积五思维总结1正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积：S全=a2；(2)体积：V=a3；(3)对棱中点连线段的长：
10、d=a；(4)内切球半径：r=a；(5)外接球半径 R=a；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。2直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：如图，在直角四面体AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c。则：不含直角的底面ABC是锐角三角形；直角顶点O在底面上的射影H是ABC的垂心；体积 V=abc；底面ABC=；S2ABC=SBHCSABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC=+; 外切球半径 R=；内切球半径 r=3圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.如图，圆锥的顶角
11、为，母线与下底面所成角为，母线为l，高为h，底面半径为r，则sin=cos = ，+=90cos=sin = .圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r 、r，则h=lsin，r-r=lcos。球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：r=.4经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。5. 两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离公式：（其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）
