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1、.恒成立问题二、恒成立问题解决的基本策略A、两个基本思想解决恒成立问题思路1：在上恒成立；思路2：在上恒成立如何在区间上求函数的最大值或者最小值问题,可以通过题目的实际情况,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导,等等方法求函数的最值此类问题涉及的知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,希望大家多多注意积累C、分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本的解题策略1、一次函数型若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数,若在内恒有,则等价于：；同理,若在内恒有,则等价于：例3
2、对于满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围解：原不等式转化为：在时恒成立,设,则在上恒大于0,故有：即,解得：；或,即2、二次函数型例4若函数的定义域为,求实数的取值范围解：由题意可知,当时,恒成立,当且时,；此时,适合；当时,有即有；综上所述,的定义域为时,例5已知函数,在上恒成立,求的取值范围分析：的函数图像都在轴及其上方,如右图所示：略解：,变式1：若时,恒成立,求的取值范围分析：要使时,恒成立,只需的最小值即可解：,令在上的最小值为；当,即时,；,而,不存在；当,即时,；又,；当,即时,；又,；综上所述,变式2：若时,恒成立,求的取值范围22法一：分析：题目中要证明在上恒成立,若
3、把2移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题略解：,即在上成立；,；3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于取值范围内的任何一个数都有：恒成立,则；若对于取值范围内的任何一个数,都有：恒成立,则例6已知三个不等式：,要使同时满足的所有的值满足,求的取值范围略解：由得,要使同时满足的所有的值满足,即不等式在上恒成立,即在上恒成立,又在上大于9；所以：例7函数是奇函数,且在上单调
4、递增,又,若对所有的都成立,求的取值范围解：据奇函数关于原点对称,；又因为在是单调递增,所以；对所有的都成立；因此,只需大于或等于在上的最大值1,；又对所有的都成立,即关于的一次函数在上大于或等于0恒成立,即：利用变量分离解决恒成立问题,主要是要把它转化为函数的最值问题4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数是奇偶函数,则对一切定义域中的：恒成立；若函数的周期为,则对一切定义域中的：恒成立5、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果尤其对于填空题这种方法更显方便、快捷例8对任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范
5、围分析：转化为求函数的最小值,画出此函数的图像即可求得的取值范围解：令；在直角坐标系中画出图像如图所示,由图象可看出,要使对任意实数,不等式恒成立,只需；故实数的取值范围是本题中若将改为；同样由图象可得利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围三、在恒成立问题中,主要是求参数的取值范围问题,是一种热点题型,介绍一些基本的解题策略,在学习中学会把问题分类、归类,熟练基本方法一换元引参,显露问题实质例9对于所有实数,不等式：恒成立,求的取值范围解：因为的值随着参数的变化而变化,若设,则上述问题实质
6、是当t为何值时,不等式恒成立；这是我们较为熟悉的二次函数问题,它等价于：求解关于的不等式组：；解得,即有,易得二分离参数,化归值域问题例10若对于任意角总有成立,求的范围解：此式是可分离变量型,由原不等式得,又,则原不等式等价变形为恒成立故必须小于的最小值,这样问题化归为怎样求的最小值由；即时,有最小值为0,故三变更主元,简化解题过程例11若对于,方程都有实根,求实根的范围解：此题一般思路是先求出方程含参数的根,再由的范围来确定根的范围,但这样会遇到很多麻烦,若以为主元,则,由原方程知,得；又,即；解之得或四图象解题,用好数形结合例12设,若不等式恒成立,求的取值范围解：若设,则表示为上半圆设
7、,为过原点,为斜率的直线在同一坐标系内作出函数图像；依题意,半圆恒在直线上方时,只有时成立,即的取值范围为例13当时,不等式恒成立,求的取值范围解：设,则的图像为右图是抛物线；要使对一切,恒成立,显然,并且必须也只需当时,的函数值大于等于的函数值；故,五合理联想,运用平几性质例14不论为何实数,直线与曲线恒有交点,求的范围解：,Ca,0,当时,联想到直线与圆的位置关系,则有点A0,1必在圆上或圆内,即点A0,1到圆心距离不大于半径,则有,得评析：因为题设中有两个参数,用解析几何中有交点的理论将二方程联立,用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A0,1,曲线为圆六分类讨论,避免重复遗漏例
8、15当时,不等式恒成立,求的范围解：使用的条件,必须将分离出来,此时应对进行讨论当时,要使不等式恒成立,只要,解得；当时,要使不等式恒成立,只要,解得；当时,要使恒成立,只有；综上得解法2：可设,用一次函数知识来解,则较为简单七构造函数,体现函数思想例16设,其中为实数,为任意给定的自然数,且,如果当时有意义,求的取值范围解：本题即为对于,有恒成立这里有三种元素交织在一起,结构复杂,难以下手；若考虑到求的范围,可先将分离出来,得,对于恒成立构造函数：,则问题转化为求函数在上的值域由于函数在上是单调增函数,则在上为单调增函数；于是有的最大值为：,从而可得四、巩固练习1对任意的实数,若不等式恒成立,求实数的取值范围2已知函数,对任意都有意义,求实数的取值范围3已知是定义在的单调减函数,且对一切实数成立,求实数的取值范围4当、满足什么条件时,关于的不等式对一切实数恒成立？5已知,在与时,都取得极值；1求、的值；2若都有恒成立,求实数的取值范围答案：1,；2或6定义在定义域内的函数,若任意的,都有,则称函数为接近函数,否则称非接近函数,函数,是否为接近函数？如果是,请给出证明；如果不是,请说明理由解：因为；函数,的导数是：；当即时,在时,在时；故在内有极小值是；同理,在内有极大值是；因为,所以函数,的最大值是,最小值是；故有：；所以函数,是接近函数 /
