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1、第七讲MATLAB在插值与逼近中的应用1 插值与逼近1.1 为什么要逼近 数学上来讲，逼近就是在精度要求的范围内对要研究函数给出近似的函数值，甚至函数表达式。为什么我们不直接计算要研究的函数或函值本身？理由如下： 用给定函数表达式计算函值很困难甚至根本不可能。如，sinx、tgx、Inx等。 由实验与测量得到的变量间对应关系常常是一函数值表(今后我们也称为表列函数)。但 表所表示函在表某个中间位置的函数值却是无法知道的。 函数可能被隐含地定义，而事实上又不能用一个直接规律给出。例如，由方程ey+y+sinx=0 确定的隐含数。 计算逼近函数的值往往比计算函值本身更快。特别地，当原来函数以无穷级
2、数的形式给 出，只能如此。 计算机存储量有限，而其计算量相对来说却很大，从某种意义上来讲，逼近实际上也是为 了取长补短。如，我们不可能将所有的sinx的值都存在计算机内，但我们将会看到，利 用琏近我们的却可以很方便地算出任一点的函数值。 实际应用中，只要函数值符合某一个精度要求也就够了。1.2 逼近的分类 逼近函数是为了更方便地计算函数，更简单地表达函数。因此，常用一些简单函数或这些简单函数的线性组合来逼近。通常的逼近形式有：我们称巾(x),i = O, 1，2,，m为逼近函数，f(x)称为逼近函数。1.3 逼近的原则已知函数f(x)在n+1个点x (i = 0, 1， 2,，n)的函数值为f
3、(x) (i = 0, 1， ii2,，n)。要求出f(x)的逼近函数g(x),则要选定逼近基函数，确定上式中的常数a (i =i0, 1, 2,，m)。基函数选定往往跟实际问题有关；而确定常数ai (1 = 0, 1, 2,，m) 以保证逼近函数g(x)能更近似地表示函数f(x),则是我们这里要解决的问题。为此，就要首 先给出一个准则，来描述“更近似”。定义距离：其中，p0为一实数。则“更近似“即指“e更小“。因此，确定a (i = 0, 1, 2,，m)使i得e取得最小即可。e称为逼近误差。若p=1,称为一致逼近，p=2，称为平方逼近。从上式不难看出，就此式而言，e最好的最小值为零，此时，
4、g(x )=f(x ),逼近函数g(x)ii恰好经过所有n+1个已知点(xi, f(x),(i = 0, 1, 2,，n)。i1.4 什么叫插值给定n+1个数据点(x ,y ), (x,y),，(x ,y ),若逼近函数经过n+1个数据点，即在0011n n已知数据点上的逼近误差为零，则称逼近函数为插值函数，简称为插值。若存在 P(x )=y(i=0,l,n)ii称P(x)为y=f(x)的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。主要算法有Lagrange 插值、Newton插值、分段线性插值、Hermite插值及三次样条插值等。1.5 Lagrange 插值1.5.1线性插值过函数y=f
5、(x) 上的两点(x0,y0)(x1,y 1)作一直线p1(x)近似地替代f(x)即：p1(x0)=y0p1(x1)=y1由点斜式P 1(x) = y0 +字(x - x0)x 1 一 x 0y0y 0+x1 一 x 0y 0 +y 1x 0 一 x1x1 一 x 0p1( x) = 10( x) y 0 + 11( x) y11.5.2抛物插值过函数y=f(x)上的三点(x0,y0),(xl,yl),(x2,y2)作一抛物线p2(x)近似地替代f(x) 即：p2(x0)=y0p2(x1)=y1p2(x2)=y2作二次式l0(x),使其满足l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0,
6、易推出： 同理则p 2( x) = 10( x) y 0 +11( x) y1 + 12( x) y 21.5.3 Lagrange 插值设函数y=f(x)在给定的两两互异的节点xO,x1,，xn上的函数值为yO,y1,，yn,求作一 个次数Wn的多项式p (x) = a + a x + a x 2 + . + a x n n012n0 i丰j1 i=j使它满足cH (x - x )jj=0j知假设p (x) = H 1 (x)y 其中 1(x )= n i i i j i=01 (x) = c(x - x ).(x - x)(x - x ).(x - x )=i0i-1i+1n所以 i(x)
7、=m ix -xj=0 i jj知p (x)壬 H 二i x -xi = 0j = 0 ij知 这就是Lagrange插值多项式1.5.4 Lagrange插值的流程图1.5.5 Lagrange 编程 functiony=lagrange(x0,y0,x) %lagrange insert n=length(x0);p=0;for i=1:nl=1.0;forj=1:nz-if j=il=l*(x-x0(j)/(x0(i)-x0(j); endendp=p+l*y0(i);end y=p;例例 给出f(x)=e-x的数值表，用lagrange插值计算e-0.2的近似值X0.100.150.2
8、50.30ln(x)0.9048370.8607080.7788010.740818x0=0.10 0.15 0.25 0.3;y0=0.904837 0.860708 0.778801 0.740818; y=lagrange(x0,y0,0.2)y =0.818730166666667例给出f(x)=lnx的数值表，用lagrange插値计算ln0.54的近似值X0.40.50.60.70.8ln(x)-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144x0=0.4:0.1:0.8;y0=-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0
9、.356675 -0.223144; y=lagrange(x0,y0,0.54)y =-0.6161427152y=log(0.54)y =-0.6161861394238171.6分段插值(将插值区间划分小区间x,x 在每个小区间构造插值多项式pi(x),将i i+1每个小区间插值多项式pi(x)拼接)1.6.1高次插值的Runge现象对于函数x=-5:1:5;y=1./(1+x.A2);x0=-5:0.1:5;y0=1./(1+x0.A2);y1=lagrange(x,y,x0); plot(x0,y1,-or) hold onplot(x0,y0,-b)clfx1=-5:1:0; y1
10、=1./(1+x1.A2); x2=0:1:5;y2=1./(1+x2M2);x3=-5:0.1:0; x4=0:0.1:5;x0=-5:0.1:5; y0=1./(1+x0.A2);y3=lagrange(x1,y1,x3);y4=lagrange(x2,y2,x4); plot(x3,y3,or,x4,y4,+r) hold onplot(x0,y0,-b)1.7 MATLAB插值函数插值函数及其功能函数功能描述interp1一维插值interp2二维插值interp3三维插值interpft一维快速傅立叶插值interpnN-D维插值spline三次样条数据插值pchip保形分段三次插值
11、(分段三次Hermit插值多项式)yi=interp1(x,y,xi,method)methods are:nearest - nearest neighbor interpolationlinear - linear interpolationspline - piecewise cubic spline interpolation (SPLINE)pchip- shape-preserving piecewise cubic interpolationcubic- same as pchipv5cubic - the cubic interpolation from MATLAB 5, w
12、hich does not extrapolate and uses spline if X is not equally spaced. x=0:8; y=sin(x);xi=0:0.1:8; ni=interp1(x,y,xi,nearest); li=interp1(x,y,xi,linear); si=interp1(x,y,xi,spline); ci=interp1(x,y,xi,cublic); plot(x,y,o,xi,ni,ms,xi,li,b*,xi,ci,k+,xi,si,r-) legend(原数据，nearest, linear,cublic,spline)1.8样
13、条曲线的MATLAB实现1.8.1 样条曲线在工程实践与科学中的应用 样条曲线拟合问题：由试验或观测得到了一批数据点，要求用一个函数近似地表明数据点 间的函数关系，并画出函数的样条曲线。 样条曲线插值问题：由试验、观测或计算得到了若干离散点组成的点列，要求用光滑的样 条把这些离散点联结起来。 样条曲线逼近问题：在样条曲线形状设计中，给定了折线轮廓，要求用样条曲线逼近这个 折线轮廓。MATLAB专门提供了样条工具箱，以便能够方便地处理各种数据，生成样条曲线。1.8.2 Spline tool 的使用 功能：用一系列方法生成各种样条曲线语法：splinetool(x,y)(回车)根据数组x,y在图
14、形用户界面下生成样条曲线。spline tool(回车)启动图形用户界面选择数据输入的方式(如选第一项Provide you own data) x=linspace(0,2*pi,31) y=cos(x) 选择各种生成样条曲线的方法： 三次样条插值法，可选择各种约束条件平滑样条法，可选择函数的阶数(4或6),可改变精度的允许值 最小二乘法，可选择函数的阶数(1到14)样条插值法，可选择函数的阶数(1到14) 选择方法的辅助图形(通过View菜单) 显示样条函数的一阶导数曲线图 显示样条函数的二阶导数曲线图显示误差曲线图 第一个点的三次导数和第二点的三次导数一样；最后一个点的三次导数和倒数第二个点一样complete or clamped 第一类边界条件(缺省边界条件) 第二类边界条件 周期(第三类)边界条件 使最后一个点的二阶导数等于零 自然边界条件用所给定四个点通过Lagrange插值法生成三次样条曲线第一类边界条件：给定函数在x,x端点处的一阶导数，0n第二类边界条件：给定函数在x,x端点处的二阶导数，0n当函数在x,x端点处的二阶导数等于0时，称为自然边界条件，此时的样条函数称为自然样0n条函数第三类边界条件：设f(x)是周期函数，并设x,x是一个周期，给定函数在x,x端点处的一0
