质数,合数与分解质因数

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1、质数、合数与分解质因数一、教学建议【抛砖引玉】通过本段内容的教学使学生理解和掌握质数、 合数、质因数和分解因数的概 念，并能运用概念进行判断， 会把自然数按约数个数分类， 能正确地把一个合数 分解质因数。培养学生观察、比较、抽象概括能力。（ 一 ） 教学质数与合数教学质数与合数要注意抓住以下四点1. 从把自然数按约数“个数”这个标准进行分类入手， 引出质数和合数的概 念。要注意给学生提供全面、充实、恰当的感性材料，使学生通过观察、比较、 抽象、概括得到清晰、准确的质数与合数概念。例如：先说出下面各数的约数， 再观察比较： 哪些数的约数最少？哪些数的约数有 两个约数？哪些数有两个以上的约数？1

2、、2、3、4、5、6、7、8,19 、 20只有 1 个约数的自然数有 1有两个约数（ 1 和它本身）自然数有 2、3、5、7、11、13、17、19 有两个以上约数的自然数有 4、6、8、9、12、14、15、 16、18、20 通过只有两个约数的自然数观察比较概括出质数的概念。即一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。通过只有两上以上约数的自然数观察、 比较、抽象概括出合数概念。 即一个 数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。2. 要明确“ 1”为什么既不是质数？也不是合数？“ T不是合数，按合数定义去解释学生很快就能接受。“T不是质数，按质数定义去解释有些学

3、生想不通。原因是受“一个自然数的约数个数是有限的， 其中最小的约数是1,最大的约数是它本身”这句话的影响，认为 1有两个约数 其中最小的约数是1,最大的约数还是1,所以“1”有两个相同的约数。学生这 样理解是有一定道理的。这时老师要指出，如果一个自然数出现两个相同约数时， 规定为1个约数。如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些 数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。因为1只有一个约数，因此1 既不是质数，也不是合数。3. 自然数的分类(1) 按自然数约数的“个数”这个标准分类， 则自然数可分为三类。即质数、 合数和1三类。自然数自然数是无限的，所以质数和合数也是无限的

4、。(2) 按每个自然能否被2整除分类，则把自然数分两类。即奇数和偶数。自然数(Ji自然数是无限的。所以奇数和偶数的个数也是无限的。4. 运用质数、合数概念，判断一个数是质数还是合数。可以加深学生对质数、 合数的理解。例如：下面哪些数是质数？哪些是合数？19 、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54通过检查各数约数的个数，可以知道：21、87、35、38、72、54 是合数19 、43、67、89、97 是质数判断一个数是质数还是合数，一般有三种方法：(1) 如上述方法就是检查每个数约数的个数，根据质数、合数的定义进行判 断；(2) 查质数表；（3）用试除的方法。记住20

5、以内2、3、5、7、11、13、17、19这8个质数, 试除时，看这个数除了 1和它本身以外，能否被其他数整除。若能则是合数；若 不能则是质数。为了迅速判断一个数是质数还是合数，能够根据2、3、5整除数的特征进行判断尽量运用特征判断。如判断 237980这个数，它是质数还是合数。（因为这 个数个位上是0,因此这个数除了 1和它本身外，至少还有一个约数 2,所以这 个数是合数。）对于数较大，不能直接看出它是质数还是合数的就用试除法。比如判断91是质数还是合数。可以用91十7=13, 91能被7整除，可以断定91是合数。（二）教学分解质因数要注意以下三个问题。1 一切实拿握质因数、分解质因数的概念

6、例如；把12、35 42. 12写成几个质数相乘的形式.可UA这样想乂先利用乘法口决写出乘法式子，再变为几个质馥相乘的形式.3X2X27X512=2X2X335-5X7722X4X3X32X2X2X3X342=2X3X772=2X2X2X3X3通常要按质数的大小从小到大写成相乘的形式从上面的例子可以看出，任何一个合数都可以写感几个质数相乘的舷式，这几个质数 叫做这个合数的Jfi因数.把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例12=2X2X3叫做把12分解质因数.2.掌握分解质因数的两种方法分解质因数的过程，就是求这些质因数的过程。把一个合数分解质因数有两种方法。一种是利用乘法口诀

7、分解质因数。例如：直接把下面各数分解质因数21、34、52、28、60、75、90解答时可以这样想：先把这个合数分解成两个因数相乘的形式，如果两个因 数都是质数，就算分解完了；如果因数中还有合数，还要继续分解，一直分解到 全部因数都是质数为止。(如课本 P59例2)这是分解质因数的最基本方法。另一种是用短除法分解质因数。用慰除法分解质因数，应注意除数一定是质数，并且一股是按照质数从小到大的顺序, 看被除数能被哪个质数整除，就用这个质教去除，直到得出的商是质数为止.然后把各个 除馥和最后的商写成连乘册形式.比如240=2X2X2X2X3X5勺能灵活地应用质数、合数、分解质因数等概念，进行一些判断

8、.目的是巩固所学知识.I)质数都是奇数.(X)(可合数都是偶数.(X)(3) 除2以外，所有质数都是奇数.(V)(4) 4是自然数中最小的合凱 3)(R24分解质因数可以写成：24=1X2X3X4.(X)【指点迷津】1什么叫筛法？怎样用筛法编制MD以内的质数表筛法是用来寻找不超过自然数N (N1)的所有质数的一种方法.这种方法是由公元 前三世纪的古希腊学看埃拉托斯特尼发明的，所段又叫做埃拉托斯特尼筛.埃拉托斯特尼把数写在涂了一层蜡的纸上，在写着合数的地方用针刺上一个 小孔，于是剩下的都是质数。而这块涂蜡的纸被刺成筛子一样，因此这种求质数 的方法就叫筛法。怎样用筛法编制100以内的质数表呢？在自

9、然数中第一个数是1,它既不是质数也不是合数，把它除外。第二个数 是2,它是质数，把它保留，并且把2的倍数都划掉。紧靠2后面没被划掉的是 3, 3是质数，把它保留，并且把3所有的倍数划掉。紧靠3后面的是5, 5是质 数,把它保留，并且把5的倍数都划掉,用这样的筛法，把100以内的所有合数全部筛掉剩下的就是质数。请同学们按上面介绍的方法制作一个 100以内的质数表2. 质数、因数、质因数、分解质因数有什么不同？一个数除了 1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数。 它是1个独立 存在的数。比如 17 是质数，因为它只有 1 和 17 两个约数。在乘法中，被乘数和乘数都叫因数。例如：2X 3=6,

10、 2和3是6的因数。6 的两个因数 2和3，同时又都是质数。因此，我们把 2和3又叫做6的质 因数。每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式， 这几个质数叫做这个合数的质 因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如： 36=2X 2X 3X340=2X 2X 2X 5其中 2、2、3、3是36的质因数；2、2、5是40的质因数。因数与积相关联，因数不能单独存在。比如 2 和 3 是 6 的因数，而不能说 2 和 3 是因数，必须说明是谁的因数。 因数可以是质数也可以是合数 (如 5X 6=30， 其中 6 就是合数)，而质因数，要求因数本身还必须是质数。比如 30=2X 3

11、X 5， 30的三个因数都是质数。所以可以说 30的质因数是 2、3和 5。3. 在分解质因数时，要防止发生以下几种错误。(1) 没有坚持一直用质数作除数，因此造成分解式中出现合数。如把 280 分 解质因数。（序殳有坚持一直用质镇作除数，因此造成分解式中出现合数口如把280分解质因数. 2| 2304 I 14051 351280=2X4X5X7（2股有分解到商也是质数.造成分解式中出现合数.2 II 2801 THF2170-35230=2X2X2X352|230214027053571卩疮分解式中有出现.1 280=2X2X2X5X7X1呂）把分解式写成乘积式（即写反）2 | 2別2 |

12、2 I 705 J3572X2X2X5X7=2802把下面各数分解质因数，并说出分解质因数的方法.49dO847| 492160234723024249=7X7315321丁7542 | 543 |即 3p54=2X3X3X360-2X2X3X554=2X2X3X7二、学海导航【思维基础】1. 说出什么叫质数？什么叫合数？并判断下面各数哪些是质数，哪些是合 数。3、27、41、6、11、19、69、57、97一个数如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（也叫做素数） 一个数如果除了 1和它本身还有别的约数这样的数叫做合数。质数有： 3、41、 11、19、97 合数有： 27、6、 69

13、、57。把一个合数分解质因数，先用一个能除这个合数的质数 (通常从最小的开始) 去除，得出的商如果是质数， 就把除数和商写成相乘的形式； 得出的商如果是合 数；就照上面的方法继续除下去， 直到得出的商是质数为止， 然后把各个除数和 最后的商写成连乘的形式。3. 判断下面的说法对吗？正确的画“V”，错的画“ X”。(1) 在自然数中除了质数就是合数。( )(2) 一个合数至少有 3 个约数。( )(3) 3 和 5 是质因数。( )解：(1) (X)即不对。因为自然数按约数个数分三类。就是自然数包括质 数、合数和 1。而这种说法显然把自然数按这样的分类标准分了两类，丢掉了 “ 1 ”这一类。(2

14、) (V)即对。因为合数的定义是一个数除了1和它本身以外，还有别的约数，这个数叫合数。 这里的“还有别的约数”的意思至少有 1 个约数。 至少这 1 个约数再加上 1 和它本身的两个约数就是至少 3个约数。 因此这种说法是正确 的。(3) (X)即错。3和5都是质数。质因数是与积相关联，它不能单独存在。质因数，要求因数本身还必须是质数。比如15=3X5， 3和5都是15的质因数。【学法指要】例 1. 2 1 0=2X 3 X 5 X 7，你能从这个式子中知道 210除了有约数 1 以外，还 有哪些约数吗？分析：凡是能被 210整除的数都是 2 1 0的约数。怎样才能做到找准、找全呢？ 那就要分

15、类找。一类是显露的约数即 2、3、5、7 四个约数。另一类是隐含约数。 这一类先找全两个因数的积。即(2X 3) (2X 5)、(2X 7)、(3X 5)、(3X 7)、 (5X 7);再找全三个因数的连乘积。 即(2X 3X 5)、(2X 3X 7)、(3X 5X 7)、 (2X 5X 7);最后找四个因数的积。即(2X 3X 5X 7)。这样分类找 210除了 约数 1 外，其它 15 个约数就能找全了。解： 210除约数 1 外的约数有 2、 3、 5、 7、 6、 10、 14、 15、 21、 35、 30、 42、 105、 70、 210。例 2. 4500 的约数共有多少个？分析：可以利用积与因数的关系，一对对找出 4500所有约数，然后再数出 它们共有多少个就行了。但是，因为 4500数很大，用这种方法做很麻烦，而且 往往会遗漏，借助于分解质因数的方法求较大数约数的个数比较简捷比