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1、第一章 常用逻辑用语自我校对若q，则p若p，则q若q，则p真假相反x0M，p(x0)xM，p(x)命题关系及其真假判定(1)命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”；否命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”.书写四种命题应注意：分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待.要注意条件和结论的否定形式.(2)判断命题真假的方法：直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得结论；利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；对于“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真假相反.写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真
2、假.(1)若ab是偶数，则a，b都是偶数；(2)若x3或x7，则(x3)(x7)0.【精彩点拨】先明确原命题的条件p与结论q，把原命题写成“若p，则q”的形式，再去构造其他三种命题，对具有大前提的原命题，在写出其他三种命题时，应保留这个大前提.【规范解答】(1)逆命题：若a，b都是偶数，则ab是偶数，为真.否命题：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数，为真.逆否命题：若a，b不都是偶数，则ab不是偶数，为假.(2)逆命题：若(x3)(x7)0，则x3或x7，为真.否命题：若x3且x7，则(x3)(x7)0，为真.逆否命题：若(x3)(x7)0，则x3且x7，为真.“都”的否定词是“不都”，而不是
3、“都不”，同理，“全”的否定词是“不全”，而不是“全不”.另外，命题中的“或”，在否命题中要改为“且”.再练一题1.有下列命题：“若xy0，则x0且y0”的否命题；“矩形的对角线相等”的否命题；“若m1，则mx22(m1)xm30的解集是R”的逆命题；“若a7是无理数，则a是无理数”的逆否命题.其中为真命题的是() 【导学号：97792011】A.B.C.D.【解析】的逆命题为“若x0且y0，则xy0”为真，故否命题为真；的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；的逆命题为“若mx22(m1)xm30的解集为R，则m1”.当m0时，解集不是R，应有即m1.是假命题；原命题为真，逆否命题也
4、为真.【答案】D充分条件、必要条件与充要条件关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：若pq，且pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若pq，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件；若pq，则p是q的既不充分也不必要条件，同时q是p的既不充分也不必要条件.已知p：q：x|1mx1m，m0，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围.【精彩点拨】本题主要考查充分条件、必要条件和充要条件的应用.解答本题应先写出p和q，然后由qp，且pq求得m的范围.【规范解答】法一由题意，得p：Ax|x10，q：Bx|x1m，m0，p是q的必要条件，qp，pq.BA，画数轴(略)分
5、析知，BA的充要条件是或解得m9.m的取值范围是m|m9.法二p是q的必要不充分条件，即qp，pq，即p是q的充分不必要条件.而p：Px|2x10，q：Qx|1mx1m，m0，PQ，即得或解得m9.m的取值范围是m|m9.应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用.再练一题2.已知p：x28x200，q：x22x1a20，若p是q的充分条件，求正实数a的取值范围.【解】p：x28x200x2或x10，令Ax|x2或x10，a0，q：x1a或x1a，令Bx|x
6、1a或x1a，由题意pq且pDq，知AB，应有或a的取值范围为(0,3.分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论，解含参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.已知命题p：x2mx10有两个不相等的负根；命题q：4x24(m2)x10无实根.若pq为真，pq为假，求m的取值范围.【精彩点拨】本题主要考查根据命题真假求参数的取值范围，由pq一真全真，pq一假全假得命题的真假情况.【规范解答】x2mx10有两个不相等的负根m2.4x24(m2)x10无实根16(m2)2160m24m301m3.pq为真，pq为假
7、，p和q一真一假，当p真q假时，有解得m3；当p假q真时，有解得1m2.所求m的取值范围为m|1m2，或m3.若命题“pq”“pq”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“pq”“pq”的真假情况分类讨论参数的取值范围.再练一题3.已知命题p：关于x的方程x2ax40有实根；命题q：关于x的函数y2x2ax4在3，)上是增函数.若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围.【解】p真：a2440，a4或a4.q真：3，a12.由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，得p，q两命题一真一假.当p真q假时，a12；当p假q真
8、时，4a4.综上，a的取值范围为(，12)(4,4).转化与化归思想转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.对任意x1,2，有4x2x12a0恒成立，求实数a的取值范围.【精彩点拨】通过换元，可转化为一元二次不等式的恒成立问题，通过分离参数，又可将恒成立问题转化为求最值的问题.【规范解答】原不等式化为22x22x2a0，令t2x，因为x1,2，所以t，则不等式化为t22t2at22t2.所以原命题等价于t，at22t2恒成立.令yt22t2(t1)21，因为当t时，ymax10，所以只需a10即可.故实数a的取值范围是(10，).
9、在本题的解答过程中，用到了两次化归思想，在第一次通过换元，化归为一元二次不等式恒成立时，要特别注意新元的取值范围.再练一题4.已知命题p：“至少存在一个实数x01,2，使不等式x22ax2a0成立”为真，试求参数a的取值范围. 【导学号：97792012】【解】p：x1,2，x22ax2a0，是假命题，令f(x)x22ax2a，则即解得a3.故命题p中，a3.即参数a的取值范围为(3，).1.设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的()A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由xy推不出x|y|，由x|y|能推出xy，所以“xy”是“x|y|”的必要条件.【答案】C
10、2.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由已知，若直线a，b相交，则平面，一定存在公共点，故其一定相交；反之，若平面与相交，分别位于这两平面的直线ab未必相交.故为充分条件.【答案】A3.设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2xm0有实根，则m0B.若方程x2xm0有实根，则m0C.若方程x2xm0没有实根，则m0D.若方程x2xm0没有实根，则m0【解析】根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x
11、2xm0没有实根，则m0”.故选D.【答案】D4.命题“x0(0，)，ln x0x01”的否定是()A.x(0，)，ln xx1B.x(0，)，ln xx1C.x0(0，)，ln x0x01D.x0(0，)，ln x0x01【解析】改变原命题中的三个地方即可得其否定，改为，x0改为x，否定结论，即ln xx1，故选A.【答案】A5.设a，b，c是非零向量，已知命题p：若ab0，bc0，则ac0；命题q：若ab，bc，则ac.则下列命题中真命题是()A.pqB.pqC.(p)(q)D.p(q)【解析】法一取ac(1,0)，b(0,1)，显然ab0，bc0，但ac10，p是假命题.a，b，c是非零
12、向量，由ab知axb，由bc知byc，axyc，ac，q是真命题.综上知pq是真命题，pq是假命题.又p为真命题，q为假命题，(p)(q)，p(q)都是假命题.法二由于a，b，c都是非零向量，ab0，ab.bc0，bc.如图，则可能ac，ac0，命题p是假命题，p是真命题.命题q中，ab，则a与b方向相同或相反；bc，则b与c方向相同或相反.故a与c方向相同或相反，ac，即q是真命题，则q是假命题，故pq是真命题，pq，(p)(q)，p(q)都是假命题.【答案】A6.下列叙述中正确的是()A.若a，b，cR，则“ax2bxc0”的充分条件是“b24ac0”B.若a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C.命题“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”D.l是一条直线，是两个不同的平面，若l，l，则【解析】由于“若b24ac0，则ax2bxc0”是假命题，所以“ax2bxc0”的充分条件不是“b24ac0”，A错；ab2
