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1、2.2 圆与方程(苏教版必修2)建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题(本题共10小题,每小题5分,共50分)1.直线被圆截得的弦长等于_.2.圆x2y22x6y90与圆x2y26x2y10 的位置关系是_.3.过点P(2,1)作圆C:的切线有两条,则a的取值范围是_.4.设直线与轴的交点为P,点P把圆的一条直径分为两段,则其长度之比为_.5.圆关于直线 0对称的圆的方程是_.6.如果实数满足方程,那么 的最大值是_.7.已知两圆 ,则经过两圆交点的直线方程为_ _8.过点M(0,4)且被圆截得的线段长为的直线方程为 _ _9.若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧,且与直线
2、x+2y=0相切,则圆C的方程是_.10.圆上到直线的距离为的点共有_个.二、解答题(本题共5小题,共50分)11(10分)已知圆C:及直线.(1)证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交;(2)求直线被圆C所截得的弦的最短长度及此时直线的方程12 (10分)一艘轮船在沿直线返回港口的途中,收到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西 70 km处,受影响的范围是半径长30 km的圆形区域已知港口位于台风正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?13(10分)求与直线y=x相切,圆心在直线y=3x上且被y轴截得的弦长为的圆的方程14. (10分)已知圆和直线交于P、Q两
3、点,且OPOQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径长15.(10分)求圆心在直线上,且过两圆,交点的圆的方程1. 解析:圆心为(-2,2),圆心到直线的距离为,圆的半径为,由勾股定理求出弦长的一半为,所以弦长为.2.相离 解析:将圆与圆的方程分别化为标准形式得,所以圆心坐标分别为(-1,-3)和(3,-1),半径分别为r=1和R=3,则两圆心之间的距离,,所以两圆的位置关系是相离3.或a2 解析:由题意可知,点P在圆C外部,则有,故a-3.将圆的方程化成 ,应有0,解得a或a2.综上,或a2.4. 73或37 解析:易得P点的坐标为(0,),如图,可先求得PC的距离为2,且圆的半径,所以,
4、所以两段长度之比为73或37.5. 解析:化成标准形式为,圆心为(1,3),半径r1=1.设对称圆的方程为,圆心为(a,b),则半径r=1.因为对称圆与圆关于直线对称,即对称圆的圆心(a,b)与圆心(1,3)关于直线对称,故解得所以对称圆的方程是.6. 解析:由题意,的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率,令,则y=kx,故当直线的斜率最大时,直线y=kx和圆相切.因为圆的圆心为(2,0),半径r=,由圆心到切线的距离等于半径得,平方得,所以.所以的最大值是7. 解析:,整理得,此即为经过两圆交点的直线方程.8.x=0或15x8y32=0 解析:当直线斜率存在时,设直线方程为y-4=kx,圆心到
5、直线的距离,由,解得,故直线方程为,即;当直线斜率不存在时,直线方程为x=0,此时也满足条件.9. 解析:设圆心坐标为(a,0),则圆的方程为.依题意,圆心到直线的距离等于,即,解得a=5或a=5(舍去),故圆的方程为10.3 解析:化为标准形式为,故圆心为(1,2),半径是,圆心到直线的距离是,故圆上到直线的距离为的点共有3个11(1)证明:可以改写为,所以直线必经过直线的交点.由方程组解得即两直线的交点为A.又因为点与圆心的距离,所以该点在圆内,故不论取什么实数,直线与圆C恒相交.(2)解:连接,过点作的垂线,与圆相交于点、,则为直线被圆C所截得的最短弦.此时,即最短弦长为.又直线的斜率,
6、所以直线的斜率为2.此时直线方程为:,即.12.解:以台风中心为原点,东西方向为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系这样,受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为.轮船航线所在直线的方程为 ,即.如果圆与直线有公共点,则轮船受影响,需要改变航向;如果圆与直线无公共点,则轮船不受影响,无需改变航向由于圆心(0,0)到直线的距离,所以直线l与圆O无公共点这说明轮船将不受台风影响,不用改变航向13解:设圆心O1的坐标为(x0,3x0),半径为r(r0).因为圆与直线y=x相切,所以,即.又因为圆被y轴截得的弦长为,所以,即,解得,所以,故圆的方程为或14.解:将代入圆的方程,得设P,Q,则有 OPOQ,
7、 而, ,故.将代入,解得,此时,满足题意.故圆的方程为,化为标准方程为,可得圆心坐标为,半径15.解法一:(利用圆心到两交点的距离相等求圆心坐标)将两圆的方程联立得方程组解这个方程组得两圆的交点坐标为A(4,0),B(0,2)因为所求圆心在直线上,故设圆心坐标为,则它到交点A(4,0)和B(0,2)的距离相等,故有,解得,从而圆心坐标是(3,3)又,故所求圆的方程为解法二:(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)同解法一求得两圆的交点坐标为A(4,0),B(0,2),弦AB的中垂线为,它与直线的交点(3,3)就是圆心.又半径,故所求圆的方程为解法三:(用待定系数法求圆的方程)同解法一求得两圆的交点坐标为A(4,0),B(0,2)设所求圆的方程为,因两点在此圆上,且圆心在上,所以得方程组 解得故所求圆的方程为解法四:设所求圆的方程为,即可知圆心坐标为因圆心在直线上,所以,解得将代入所设方程并化简,求得圆的方程为