《行列式的计算技巧总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《行列式的计算技巧总结（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 1关键字 11. 行列式的概念及性质 2n 阶行列式的定义 . 2行列式的性质 22. 行列式计算的几种常见技巧和方法 4定义法 4利用行列式的性质 5降阶法 7升阶法（加边法） 9数学归纳法 11递推法 123. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 14拆行（列）法 14构造法 17特征值法 184. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 19三角形行列式 19“爪”字型行列式 19“么”字型行列式 21“两线”型行列式 22“三对角”型行列式 23范德蒙德行列式 255. 行列式的计算方法的综合运用 26降阶法和递推法 27逐行相加减和套用范德蒙德行列式 27构造
2、法和套用范德蒙德行列式 28小结 29参考文献 30学习体会与建议 31摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法本文主要 介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法.如：化三角 形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Van dermo nde行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式.并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征.关键词：行列式计算方法1 .行列式的概念及性质n阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下:aiiai2a 21= a
3、ii a22ai2a2iaiiai2ai3a2ia22a23a3ia32a33a 22aiia22a33aiia23a32ai2a23a3iai3a2ia32ai2a2i a33ai3a22a3i三阶行列式的内在规律引出 n阶行列式的定义.设有n2个数,排成n行n列的数表anai2aina2ia22a2nanian2ann即n阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积aijia2j2anjn的代数和，这里jij2jn是1,2, , n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当j 1j 2jn是偶排列时，带正号；当ji j2j n是奇排列时，带负号.即ai1a 21a 12a
4、221j1j2 jnj1j2 jna1j1 a2j2a nn这里表示对所有n级排列求和.躬2 jn行列式的性质性质1行列互换，行列式不变即a11a12a1na21a22a2nan1an2anna11a21an1a12a22an2a1na2nann性质2一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式.即a11ai2ai naiiai2ainkai1kai2kainkai1ai2aina n1an2anna n1an2a nn性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样.性
5、质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那aiiai2川ainiii4aii+ai211Hl1ain41aiit+ai2*1HI ain1 1P1Ibicib2|j| bncn1111b+b211ih1bn41tGt+iC2*1bl1 1anian211 |annanian2IIIanntaniian2IIIann么行列式为零.aiiai2ainaiiai2ainaiiai2ainaiiai2ainkkaiikai2kainaiiai2aina nian2a nnania n2a nn=0.性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即aiiai2ainaiicakiai2 ca k
6、2ain ca knakiak2a kna nian2annaiiaiiakia n1ai2ai2ak2an2ainainaknann性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号即aiiai2ainaiiai2ainaiiai2ainakiak2aknakiak2aknaiiai2ainanian2annanian2ann性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零.即ai1 ai2ai,n -1ain00 0 00.an1 an2an,n-1ann2、行列式的几种常见计算技巧和方法定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.0 00 23 00 01
7、0000计算行列式0解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4! 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少具体的说，展开 式中的项的一般形式是aijla2j2 a3j3a4j4 .显然，如果ji 4，那么0，从而这个项就等于零 因此只须考虑 ji 4的项，同理只须考虑j23, j32, j41的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有ai4a23a32a4143216，所以此项取正号故0 0 04321a14a23a32a4124.0 0 20304 00利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形该方法适用于低阶行列式.2.2.1 化三角形法上、下三
8、角形行列式的形式及其值分别如下：a11a12a130a22a2300a33000a1100a21a220a31a32a33an1an2an3aina2na3nannann例2计算行列式Dn 1aiia22aiia22annann1a1a21aibia2anan1aia2an bn解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零即：化为上三角形.解：将该行列式第一行的1倍分别加到第2,3 （ n 1）行上去,可得1Qa2川an0b0001*4QiIdi4000|bn2.2.2连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加
9、上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算这类计算行列式的方法称为连加法.计算行列式Dnx1mX1X2x2mXnXnX2XnmDnnXii 1nXii 1X2x2mXnXn2.2.3nXii 1Xn mnXii 1nXii 1滚动消去法X2x2mX2XnX2mXn0XnXnnXi m .i 1当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或 者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法.例4计算行列式Dn解：从最后一行开始每行减去上一行，有123n 1n123n 1n1111120002Dn111112200211111111111n11 2n 22
10、24逐行相加减对于有些行列式,虽然前n行的和全相同，但却为零.用连加法明n1 n 1 a1a2ann1 n 1 a1a2an.显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.a10a1a20a20000例5计算行列式D00a300000anar11111解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得:a1000 a2000a3Dan 00 0 0降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开x10000x100例6解行列式Dn0 0x000 00x1anan 1an 2a2a1解：按最后一行展开，得Dnn 1n 2a1xa2xan 1xan2.3.2按拉普拉斯公
11、式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了 k1 k n-1个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即DMA 1M 2iA 2MnAn，其中Ai是子式M i对应的代数余子式.即Ann0CnnBnnAnn? Bnn ,AnnCnn?Bnn .0BnnAnnb例7解行列式D n b.b解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加 到第二列，得Dnab2.4升阶法就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果,这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可以利 用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果.其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置.1 0 1一 110例8解行列式D=1 11 11 10 11 01 11 11 10 11 011111
