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1、龙文教育 数学 学科导学案（第 次课）教师: 方娜 学生： 年级: 初三 日期: 星期: 时段: 课 题 一元二次方程及三角函数的实际应用 学情分析一元二次方程及三角函数的实际应用是学生普遍知识比较薄弱的方面，在理解相关知识点的同时，要让学生学会综合运用所学知识解决实际问题。 教学目标与 考点分析1、 一元二次方程的一般步骤及四种类型。2、 三角函数的实际应用及综合题型。 教学重难点找等量关系及综合运用。教学方法 导入法、讲授法、归纳总结法内容与过程一元二次方程的实际应用一、解应用题的一般步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其
2、余的未知数； (3)找出相等关系式，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答 二、四种类型题的例题及引伸题类型一：问题1：一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的长方体容器，求这块铁皮的长和宽？ 引伸：1、 一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。2、一张长40cm，宽25cm的长方形纸片，裁去角上四个小正方形之后。折成无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面积是450cm2，那
3、么纸盒的高是多少？ 3、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540平方米，道路的宽应为多少？小结：1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这类问题中的相等关系是什么？对应题目让学生说出问题的等量关系如“长宽高=容积” ，一般情况下，应设要求的未知量为未知数；应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系。 类型二：问题2：某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多
4、少？引伸：1、某钢铁厂今年一月份的某种钢产量是5000吨,此后每月比上个月产量提高的百分数相同,且三月份比二月份的产量多1200吨,求这个相同的百分数.2、邳州市某工厂2008年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款,计划到2010年共捐款4.75万元,问该厂捐款的平均增长率是多少?3、某单位参加捐款活动第一年1万元，以后每年捐款的平均增长率相同均为20%，多少年突破10万？（1.2的5次方约2.5,1.2的6次方约为3.0，1.2的7次方约为3.6）小结：1、让学生谈谈用一元二次方程解决这类实际问题是怎样分析的（可画表格）2、注意点：如平均增长率、平均下降率、增长了、增长到、一共、经过几次（年
5、、月）变化达到，一般是3次，列出的是2次方程，相差1，等等。类型三：问题3、（1）一根长22厘米的铁丝，能否围成面积是30平方厘米的矩形？（2）小明家要建面积为150m2的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m。若墙的长度为18m，鸡场的长、宽分别是多少？（3）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场最大面积是多少平方米？(4) 如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到250m2吗？通过计算说明理由。（5）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到100m2吗？通过计算并画
6、草图说明。小结：1、 这类问题围的方法是否唯一；2、 当所列方程的一元二次方程的根的判别式小于0时，方程无实根，反应在实际时就是不能围成。类型四：问题4、某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（35010a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？引伸、1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？2、某商店经销一种销售成本为每千克40元的
7、水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？3、我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超30人，人均旅游费用为800元，如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元，某公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用29250元组织员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人去参加？小结：1、让学生口述第四种类型中每题列式的等量关系式？（如：月销售利润月销售量销售单价月销售成本）2、商品的销售问题列方程式时注意点有
8、那些？ 3、解应用题的步骤是？三、过关题（可选有代表性的题）1、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？2、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。3、西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小型西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200k
9、g，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0、1元/kg，每天可多售出40kg，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利润200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？4、如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后PBQ的面积等于8 cm2？5、某商店进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就将减少100件。如果商店销售这批服装要获利润12000元，那么这种服装售价应定为
10、多少元？该商店应进这种服装多少件？ 6、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？三角函数的简单应用1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系：；角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2) 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度
11、一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。(3) 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45、135、225。(4)指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30（东北方向），南偏东45（东南方向），南偏西60（西南方向），北偏西60（西北方向）。 3、思想方法（1）常用解题方法设k法（2）常用基本图形双直角典型例题坡度：例1.小明沿着坡角为30的坡面向下走了2米，那么他下降（ ）例2.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关
12、于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A的值越大，梯子越陡B的值越大，梯子越陡C的值越小，梯子越陡D陡缓程度与的函数值无关例题2图例3.如图，一束光线照在坡度为的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束与坡面的夹角是 度A 例4.如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）A. B. C. D. 5米AB 例5.（2009兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A5m B6m C7m
13、D8m倾角及方向角例1、起重机的机身高AB为20m，吊杆AC的长为36m，吊杆与水平线的倾角可以从30转到80，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（ ） A（30+20）m和36tan30m B（36sin30+20）m和36cos30m C36sin80m和36cos30m D（36sin80+20）m和36cos30m例2：某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45降为30，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到001）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板
14、的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。（参考数据：）例3：海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60，航行12海里后到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30，如果渔船不改变航向继续向东航行.有没有触礁的危险？ABCoo3060北东练习：1、如图，一条小船从港口出发，沿北偏东方向航行海里后到达处，然后又沿北偏西方向航行海里后到达处问此时小船距港口多少海里？（结果精确到1海里）。提示：以下数据选用：，2、如图所示，小明家住在32米高的楼里，小丽家住在楼里，楼坐落在楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为（1）如果两楼相距米，那么楼落在楼上的影子有
