《重庆大学线性代数期末考试试卷及答案2011年12月》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重庆大学线性代数期末考试试卷及答案2011年12月（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数11A201106试卷答案、填空题每题3分，共18分1.设x,y,z互不相同，行列式,则D0的充要条件是xyz0第1行加到第3行,提取公因式，可变为范得蒙行列式2.设A,B是5阶方阵，且AB0,R(A)2,则R(B)23.已知A1B满足BA2B3E,则B4.设三阶矩阵A，如果A-与一线性相关，则x5.设3是非齐线性方程AXb的三个解向量,如果k1k22k33是该方程的解,则匕*2,k3满足条件k1k2k316.假设三阶方阵A满足A2,A2E二、单项选择题每题3分，共18分1.设A,B均为n阶方阵，则必有【CA.B;B.ABBA;2.以下结论正确的选项是0,则A有一个特征值为C.A.假设
2、A0,则A0;B.假设|ABA20,则A0;D.假设A为对称阵,3.设A,B均为n阶方阵,A.A等价于B;C.A相似于B;4.设A,B,C为n阶方阵,A.R(A)R(B);B.ABBA;D.则A2为对称阵.R(A)R(B),则必有【A】B.Ax0与Bx0有相同的解空间；D.A合同于B.ABC,则必有【c】R(B)R(C);C.R(C)R(A);(AB)1A1B10；D.R(C)R(B)15.齐次线性方阵Ax0有非零解的充要条件是【B】A.A的行向量组线性相关；B.A的列向量组线性相关；C.A的行向量组线性无关；D.A的列向量组线性无关.6.设n方阵A,B有相同的特征值，则必有【A】A.AB；B
3、.R(A)R(B);C.AJ相似于BT;D.AEBE三、计算题一每题8分，共24分1 .计算行列式D解：D 702.已知向量组5 (4, 1,9,14).2333133 31113(1, 1,2,0), 2的值.(1,2,3, 2),工(2, 2,4,4),二 (2,1,5, 6),1说明 ,f3线性无关。 2求该向量组的秩及一个最大无关组。解：1因一113对应分量不成比例。2 i 1 ,2 ,3 , 4 ,5所以秩为3 ,最大无关组为11224122 1123 45902 4614一1,2, 一3或其它。112 2 40 10 110 0 4 4 120 0 0 0 03.设矩阵A 1 0
4、1 ,B1 1 01 0 01 1 0 ,矩阵 X 满足 AXA BXB BXA AXB E ,1 1 1求X。解：AXA BXB BXA AXB E(A B)XA (A B)XB E#(AB)X(AB)E,且11可逆，（AB）1125故X(AB)1(AB)10121.当，取何值时，线性方程组并在有无穷多解时求其通解。当2通解为X1时,R(A)R(A)1,1,2.已知三阶方阵1时,1时,k1求可逆方阵P使PR(A)R(A)k2XiXiX12x14,X22X3(3x2X3X42x43)X3X3方程组有唯一解。2,R(A)R(A)1AP为对角阵。解:A有三个线性无关的特征向量，且而A2E2x4X4
5、有唯一解、无解、有无穷解?3,方程组无解。4,方程组有无穷解。此时有三个线性无关的特征向量,2是A的二重特征根,2是A的二重特征根，则必有R(A2E)12)2(6),另一特征根为122所对应的特征向量为pi(1,1,0)T,p2(1,0,1)T;36所对应的特征向量为p3(1,2,3)T记P(p1,。2,P3)，则P1AP为对角阵。五、综合题每题8分，共16分1.设A,B均为n阶方阵，满足ABAB,证明AE可逆，且ABBA。证明：ABABA(BE)BA(BE)EBE(AE)(BE)E故AE可逆。(AE)(BE)E(BE)(AE)E(AE)(BE)(BE)(AE)故ABBA2.设A为n阶方阵,1/2,3是n(n3)维列向量，且30,如果A112,A223,A33,证明向量组1,2,3线性无关。证明：设k1,k2,k3满足k1flk2f2k3;0由已知AE12,AE2；,AE，303333AE并将代入得：kT2k20AE并将代入得：I，0且20,故k10将k10代入得k20将k10,k20代入得k30故向量组1,2,3线性无关
