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1、.2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答求下列方程的解1=解： y=e =e-e+c=c e- 是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e =e =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e=e= e= 是原方程的解。4 , n为常数.解：原方程可化为： 是原方程的解.5+=解：原方程可化为：=-= 是原方程的解.6 解： =+令 则 =u因此：= * 将带入 *中 得：是原方程的解.13这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以,令P= Q=-1由一阶线性方程的求解公式 =14 两边同乘以令 这是n=2时的伯努利方程。两边同除以 令Px= Q=由一阶线性方程的求
2、解公式 = =15这是n=3时的伯努利方程。两边同除以 令= P=-2y Q= 由一阶线性方程的求解公式=16 y=+P=1 Q= 由一阶线性方程的求解公式 = =c=1y=17 设函数于t上连续,存在且满足关系式=试求此函数。令t=s=0 得= 即= 故或1 当时 即, 当时 = = =于是 变量分离得 积分 由于,即t=0时 1=c=1故 20.试证： 1一阶非齐线性方程2 .28的任两解之差必为相应的齐线性方程2.3之解； 2若是2.3的非零解,而是2.28的解,则方程2.28的通解可表为,其中为任意常数.3方程2.3任一解的常数倍或任两解之和或差仍是方程2.3的解.证明：2.28 2.
3、3（1） 设,是2.28的任意两个解则 121-2得即是满足方程2.3所以,命题成立。（2） 由题意得：341先证是2.28的一个解。于是 得故是2.28的一个解。2现证方程4的任一解都可写成的形式设是的一个解则 4于是 4-4得从而 即 所以,命题成立。（3） 设,是2.3的任意两个解则 56于是5得 即 其中为任意常数也就是满足方程2.356得即 也就是满足方程2.3所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设为曲线上的任一点,则过点曲线的切线方程为从而此切线与两坐标轴的交点坐标为即 横截距为 , 纵截距为 。由题意得：5 方程变形为于是 所以,方程的通解为。6方程变形为 于是 所以,方程的通解为。22求解下列方程。1解： = = = 2 P= Q=由一阶线性方程的求解公式 = = =.
