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1、散乱数据曲面拟合的局部加权最小二乘插值方法及权函数的选择讨论 刘福保，李卫国 1 长沙民政职业技术学院 文法系 2 南京航空航天大学 机电学院摘要：本文首先用局部加权最小二乘法将三维空间内任意散乱数据点集均匀，再估计出立方体网格点上的偏导数值及混合偏导数值，最后仅用网格点数据进行快速光滑插值加密计算,从而可得到任意点处的函数值。通过对已知函数的随机数据点集进行计算,取得了令人满意的效果。同时,在最小二乘逼近过程中,本文提供了一种权函数,并与其它二种权函数进行分析比较,给出了各种情况下的误差。关键词:散乱数据,最小二乘,权函数,插值The Topic on Choice of Weighted
2、Functional andLocal Weighted Least-mean Square Method for SurfaceInterpolation to Scattered Data1Liu Fubao ,CHangSha scoclal work collgeg ,ChangSha,410004,China2. Li Weiguo，Nanjing University of Aeronautics & Astronautics（南航）, College of Mechanical and Electrical Engineering（机电学院）, Nanjing 210016, C
3、hinaAbstract: In this article, a uniform grid data is firstly sampled from the scattered data in 3D space by local weighted least square mean method, then partial and mixed partial derivative value on the volume grid node position is estimated, finally the grid data are interpolated to be a global f
4、unctional by smoothing and densification a prior. We reported some satisfactory case results at the end of this article. Also, in the process of least square mean fitting, a best weighted functional was adopted after compared with other two traditional weighted functional. We also presented the erro
5、r in the case of varied inputted parameters.Keywords: scattered data, least square mean, weighted functional, interpolation、引言给定平面区域内的某一散乱点集D=以及对应点上的函数值,求一个二元函数使其满足(),这就是三维空间内散乱数据点集的拟合问题。散乱数据的拟合有着非常广泛的应用领域,在计算机辅助几何设计、医学、地质、航空、气象分析以及环境监测等领域都曾有人试图应用到,文1详细地讨论了知道其多种解决方法及应用范围。文2探讨了三维空间距离加权最小二乘拟合方法在脑电位地形图
6、上的应用,其解决方法是对于空间内的每一点都用最小二乘方法估计出函数值来,就是说每求一个值必须解一1010阶的线性方程组,这致使运算过程非常缓慢。文3提出了用多步方法来拟合或插值,即用局部最小二乘逼近与Hermite插值两步拟合,最后用Shepard方法修正一次得到插值。做完前两步得到拟合函数,三步做完得到插值函数。与文2的方法相比,文3的计算时间是大大减少了,然而,文3在Hermite插值过程中,直接应用从逼近函数多项式表达式中求得的偏导数值及混合偏导数值与其真值相差很大,从而对拟合曲面的保形性质及精度都有很大影响。因此,在Hermite插值过程中怎样精确估计出导数值是关键一步。文4从三次样条
7、内节点间的三阶导数的变化在最小二乘意义下最小出发推出的一阶导数估计方法比文3精确,因而本 刘福保（1962-）,男，湖南蓝山人，长沙民政职业技术学院数学高级讲师，从事变分法研究。E-mail:文采用文4的方法估计导数。同时,考虑到最小二乘拟合过程中,权函数起到了举足轻重的作用,实践表明,往往因权函数的选择不同而误差大有所异,故本文讨论了三种权函数,通过分析和误差比较,选出一种具有普遍精确性质的权函数。2、常用算法基本步聚为了比较拟合方法的准确性,我们采用通常文献中普遍所遇到的六个二元函数来作为实际例子,它们的表达式将在下面列出。选择三批平面数据点集D(分别为25,64,100),点集的生成方法
8、用随机函数在定义域0,10,1上产生.六个函数如下：,.本文算法的基本步聚如下:(1)将平面区域0,10,1均匀网格化.(2)用局部最小二乘方法估计出每个网格点上的函数值.(3)估计出网格点上的偏导数值及混合偏导数值.(4)用三次Hermite函数插值均匀网格点上的函数值,得到所求的逼近函数表达式.(5)求出任意点的函数值,用以描会出曲面图形.3、局部加权最小二乘逼近 局部加权最小二乘逼近的方法基于以下思想:假设要估计出点上的函数值,则这点的函数可被视为其邻近范围已知点共同作用影响的结果.显然,在已知的散乱点中,离距离越近的点对其影响将越大,反之将越小,而在很远处,影响几乎可视为零.因此,我们
9、要找到一个具有支撑性质的权函数,其值域应为0,1或近似于0,1,且在附近某个范围内大于零,其它地方则等于零.这样的权函数则调节了以知散乱点对所求点的影响能力. 具体的局部加权最小二乘方法是设逼近函数为 (1)其中为参数.对于任一点,求出的值,代入(1)式则可得到函数值,而参数将从以下最小二乘意义上求得: （2）其中,为权函数,为指定的点数.逼近函数可以选择为二次多项式函数或三次多项式函数本文以二次多项式为例.4、权函数的选择 权函数的目的是为了调节点附近个点对其的影响,它应该适当地反映这一特点:距离近的点所占权大,距离远的点所占权小.并且还具有第三部分中提到的那些性质.本文试用以下三种权函数来
10、作比较:(1)(2)(3)其中,;曾在文3中用到,曾在文2中用到.是作者选择的权函数.它们都具有较好的支撑性质,当时,它们的图形分别如下:图.1.高斯函数的形状随参数的变化而变化5、Hermite插值与导数值估计 若设定义域上的非均匀网格点为。则得到一网格区域,在这个区域内,网格点上的函数值可由最小二乘方法估计出来,对于非网格点的任意点上的函数值,同样可以用最小二乘方法估计,然而,那将每求一点都需解一个66阶(二次多项式)或1010阶(三次多项式)的线性方程组,因此,解完所有点后,必将需要大量时间。为减少计算量,则用双三次Hermite基函数来插值个网格点,以此所得的函数来表示要估计的函数。即
11、设,;, 则 （3）其中,方向的Hermite基函数依此构造,而其中为函数值,为方向偏导数,为方向偏导数,为混合偏导数。 为了得到角点信息矩阵中导数值,我们讨论在一维情况下的一阶导数值估计方法。对于一维三次样条曲线,设自变量方向的节点为,对应的函数值为 ,要估计出每个节点上的一次导数值。文4考虑到三次曲线的个节点内的三阶导数是呈跳跃状态的,设二阶导数分别为 ,则 ,.为了使三阶导数的变化最小,可由最小二乘意义知道,需三阶导数的跳跃值的平方和最小,即 （4） 取为最小.考虑在这段区域上,的Hermite插值表示可写为 其中是三次Hermite基函数。求的二阶导数可得： （5）其中 ,因为是三次样
12、条函数,从而在内 .为了保证二阶导数连续,设 因此,将(5)式代入(4)式,可得取,从而最小,即达到最小。 联系到三次样条的关系式： （6） 其中根据(6)式,可以将写成与的表达式,于是变成关于与的二元函数,由最小二乘法可知即得一关于的二元线性方程组,通过这个线性方程组,可把解出来,于是由(6)也就解出来了。 对于二维的情况,可以先分别沿着方向和方向求出其偏导数值,然后以方向的偏导数值为函数值,沿方向求出混合偏导数值。6、实验结果与结论 对于第三部分所给出的六个函数,我们将定义域划分成4141个网格,利用以上介绍的求导方法以及所选的三个权函数,在离散点为25,64,100个点的情况下,得到了它
13、们的RMSE(root-mean-square error)误差,以此来观察各种方法的效果。误差公式为所得结果列表如下:表1.权函数F1F2F3F4F5F68.62083.97042.19242.34213.79125.4338.37293.54652.22082.08743.33904.9838.95304.06302.33312.38514.03165.539表2.权函数F1F2F3F4F5F66.11041.58361.75248.7653.13892.6903.02011.34911.23354.6331.67652.6526.45711.66691.79909.3893.33992.
14、769表3.权函数F1F2F3F4F5F63.03439.2173.9262.5595.3602.5521.94048.6312.9472.1884.8492.3193.19179.9404.3522.6415.9622.623从以上各表可以知道权第二种权函数比其它两种权都要优越。参考文献1R.L.Hardy Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method. Computer Math.applic Vol.19.No.89.PP.163-208. 19902周龙旗等 三维空间距离加权最小二乘插值方法在脑地形图上的应用 数值计算与计算机应用 9月 1994年3T.A
