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1、几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转 化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用， 极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件 的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图 形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系 中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和 变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题： 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率 k 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从 而利用向量数量积的符号进行判定（2）点
2、与圆的位置关系 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行 判定：若点在圆内，ZACB为钝角(再转为向量：CA CB V 0 ；若点在 圆上，则ZACB为直角(CA CB = 0)；若点在圆外，则ZACB为锐角(CA - CB 0)一 一(3) 三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线(4) 直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题， 从而转为坐标运算：a = (x , y ), b = (x , y
3、 )，则 a, b 共线 o x y = x y ； a 丄 b o x x + y y = 01 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2(5) 平行(共线)线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系一 一 - -(6) 平行(共线)线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化 为向量数量积问题(注意向量的方向是同向还是反向)3、常见几何图形问题的转化( 1 )三角形的“重心”：设不共线的三点 A(x,y ),B(x ,y ),C(x ,y )，1 1 2 2 3 3则 ABC 的重心 G(xi + x2 + x3, yi + y2 + y3 (33丿2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点
4、与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：IP丄AC,IQ丄AQI在ABAC的角平分线上n |AP| = |AQ|nAI - AC _ AI - ABAC AB（4）p是以da,db为邻边的平行四边形的顶点 n DP _ DA + DB（5）P是以DA,DB为邻边的菱形的顶点：p在AB垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若A,B,C共线,则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算， （要注意向量 的夹角）例如：|AC| |AB _ AC AB， |AC|. |BC|_AC BC二、典型例题：例1 :如图：A, B
5、分别是椭圆C :兰+ 2二i(a b 0)的左右顶点，F为 a 2 b 2其右焦点，2是|AF|,|FB|的等差中项，3是AF|,|FB的等比中项(1) 求椭圆C的方程(2) 已知p是椭圆C上异于A,B的动点，直线l过点a且垂直于x轴， 若过F作直线FQ丄AP，并交直线/于点Q。证明：Q,P,B三点共线 解：(1)依题意可得：A (a,0 ), B (a,0 ), F (c,0 )AF = c + a, BF = a - c2 是 |AF|,|FB 的等差中项.4 = |AF| + |FB| =a + c + a - c = 2a:a = 2朽 是|AF| ,|FB|的 等 比 中 项:C3
6、) =|AF| |FB| = (a + c)(a -c) = a2-c2 = b2椭圆方程为：兰+ 21 = 143(2)由(1 )可得：A(2,0),B(2,0),F(1,0)设AP: y = k(x + 2)，设P(x ,y )，联立直线与椭圆方程可得:113 +4* =)4k 2 + 3 = -12k =2 6 一 8k 216k 2 4k 2 + 3 n (4k2 + 3)x2 + 16k2x + 16k2 12 = 0 y = k (x + 2 丿16k2 126 8k2x x =n x =A 14k 2 + 31 4k 2 + 3 y = k(x + 2)=12k114k 2 +
7、3P6 8k212k )14k 2 + 34k2 + 3 丿另一方面，因为FQ丄AP k =FQ k FQ : y =联立方程： b 0)的右焦点为F， M为上顶点，O为 坐标原点，若 OMF的面积为1，且椭圆的离心率为!2 2（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线1交椭圆于p , Q两点，且使点f为、PQM的垂 心若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解：（1）S=-|OM| OF = 1 bc =-OMF 222e = = n a : b : c =2:1:1a 2b = c = 1a2 = b2 + c2 = 2-椭圆方程为：+ y 2 = 1 2(2)设 P(x,y )，
8、Q( x , y ),由(1)可得：M(0,1), F (1,0)1 1 2 2.k =-1 F PQM 的垂心 MF1MF 丄 PQ I k =-= 1PQ kMFfL设 PQ : y = x + m由f pqm的垂心可得：MP丄FQMP=(x,y -1),FQ = (x -1,y )1 1 2 2MP FQ = x (x -1)+(y -1)y = 012 1 2因为P,Q在直线y = x + m上Yi =叮m，代入可得:Y = x + m22x (x 1)+(x + m 一 1)(x + m)= 01 2 1 2即卩 2xx + (x + x )(m 一 1) + m2 一 m = 0
9、1 2 1 2考虑联立方程：得 3 x 2 + 4mx + 2m 2 一 2 = 0 x 2 + 2 y 2 = 2A = 16m2 一 12(2m2 一 2) 0 n m2 b 0)的一个焦 a 2 b 2点是F(1,0), O为坐标原点.(1)若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；(2)设过点F且不垂直x轴的直线l交椭圆于A, B两点，若直线l绕点 F任意转动，恒有|OA| 2 + |OB |2 |AB |2,求a的取值范围.解：(1)由图可得：M0,-b 1由正三角形性质可得： 3丿ZMFO = -, k =-16 MF 3-k =上一逼MF 0 13b = 3a
10、2 = b2 + c2 = 4-椭圆方程为：乂 + 21 =-43设 /: y = k (x -1)， A (x , y ), B (x , y )1 1 2 2OA2 + OB2 AB2: cosZAOB =畔-迥 02| OA|OB|/.ZAOB为钝角OA - OB = x x + y y 01 2 1 2联立直线与椭圆方程：/ y = k(x 一1)n b2 x2 + a 2k 2 (x 1)2 = a 2b2，整b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2理可得：C 2k 2 + b2 )x2 - 2a 2k 2 x + a 2k 2 - a 2b2 = 02a2k2a2k2
11、一 a2b2x + x =, x x = 一 )+ k 2212a2k2 + b21 2a2k2 + b2y y = k2(x 一 1)(x 一 1)= k2xx 一k2(x + x1 2 1 2 1 2 1a2k2 一 a2b22a2k2k2b2 一 a2b2k2=k 2 -一 k 2 -+ k 2 =a2a2k2 + b2a2k2 + b2a 2k 2 一 a 2b2 + k 2b2 一 a 2b2k 2x x + y y = 01 2 1 2a2k2 一 a2b2 + k2b2 一 a2b2k2 0 恒成立即 k 2 (a 2 + b2 a2b2) a2b2 恒成立.a2 + b2 一
12、a2b2 0b2 = a2 一1.2a2 一1 一 a2 (a2 -1)2a的取值范围是例4:设A, B分别为椭圆乂 + 21 = 1(a b 0)的左、右顶点，椭圆长半 a2 b2轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距/(4,0)离的最小值为1（1）求椭圆的方程；（2）设p为直线x = 4上不同于点（4,0）的任意一点，若直线AP,BP分 别与椭圆相交于异于A,B的点M,N，证明：点B在以MN为直径的圆 内解：（1）依题意可得a = 2c，且到右焦点距离的最小值为a - c = 1可解得：a = 2, c = 1 b 二朽椭圆方程为乂 + 22 = 143（2）思路：若要证B在以MN为直径的
13、圆内，只需证明ZMBN为钝角， 即ZMBP为锐角，从而只需证明BM - BP 0，因为A, B坐标可求，所以 只要设出AM直线（斜率为k），联立方程利用韦达定理即可用k表 示出M的坐标，从而BM - BP可用k表示。即可判断BM - BP的符号，1进而完成证明解：由（1）可得A（2,0）,B（2,0），设直线AM,BN的斜率分别为k， M （x , y ），则11AM : y = k（x + 2） 联立AM与椭圆方程可得：V y - k（x + 2），消去 y 可得：（4k2 + 3）x2 + 16k2X + 16k2 -12 = 03 x 2 + 4 y 2 -1216k2 -126 - 8k 2.y1 = kX1 + 2k =晋扫，即“(6 - 8k 212k )(4k 2 + 34k2 + 3 丿./ X X =n X =A 14k 2 + 314k 2 + 3设P（4, y ），因为P在直线AM上，所以y = k（4 + 2 ）= 6k，即P（4,6k）00/ BP =(2,6k),BM(-16k212k )3 4k 2 + 34k 2 + 3 丿+ 6k 旦=址04k 2 + 34k 2 + 3/.ZMBP为锐角,.ZMBN 为钝角.m在以MN为直径的圆内例5：如图所
