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1、第2章 时间序列模型时间序列分析方法由Box-Jenkins (1976) 年提出。它适用于各种领域的时间序列分析。时间序列模型不同于经济计量模型的特点是： 这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。 明确考虑时间序列的非平稳性。如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。 2.1随机过程、时间序列为什么在研究时间序列之前先要介绍随机过程？就是要把时间序列的研究提高到理论高度来认识。时间序列不是无源之水。它是由相应随机过程产生的。只有从随机过程的高度认识了它的一般规律。对时间序列的研究才会有指导意义。对
2、时间序列的认识才会更深刻。1）过程的分类自然界中事物变化的过程可以分成两类。一类是确定型过程，一类是非确定型过程。（1）确定型过程。可以用关于时间t的函数描述的过程。（2）非确定型过程。不能用一个（或几个）关于时间t的确定性函数描述的过程。换句话说，对同一事物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到的结果是不相同的。例如，对河流水位的测量。其中每一时刻的水位值都是一个随机变量。 2)随机过程 由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，随机过程简记为 xt 或x(t) ，xt。随机过程也常简称为过程。3) 随机过程的为类随机过程一般分为两类。（1）离散型。如果一个随机过程xt对任意的tT 都是一
3、个离散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过程。（2）连续型。如果一个随机过程xt对任意的tT 都是一个连续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程。 4) 严（强）平稳过程 一个随机过程中若随机变量的任意子集的联合分布函数与时间无关，即无论对T的任何时间子集（t1, t 2, , tn）以及任何实数k, (ti + k) T, i = 1, 2, , n 都有 F( x(t1) , x(t2), , x(tn) ) = F(x(t1 + k), x(t2 + k), , x(tn + k) )成立，其中F() 表示n个随机变量的联合分布函数，则称其为严平稳过程或强平稳过程。 5)宽平稳过
4、程（1）m阶宽平稳过程。如果一个随机过程m阶矩以下的矩的取值全部与时间无关，则称该过程为m阶平稳过程。（2）二阶宽平稳过程。如果一个随机过程xt E x(ti) = E x(ti + k) = m , Varx(ti) = Varx(ti + k) = s 2 , Covx(ti), x(tj) = Covx (ti + k), x (tj + k) = s i j2 ,其中 m , s 2 和 s ij2 为常数，不随 t, (tT ); k, ( (tr + k) T, r = i, j ) 变化而变化，则称该随机过程 xt 为二阶平稳过程。该过程属于宽平稳过程。 如果严平稳过程的二阶矩为
5、有限常数值，则其一定是宽平稳过程。反之，一个宽平稳过程不一定是严平稳过程。但对于正态随机过程而言，严平稳与宽平稳是一致的。这是因为正态随机过程的联合分布函数完全由均值、方差和协方差所惟一确定。本书简称二阶平稳过程为平稳过程。6)时间序列随机过程的一次实现称为时间序列，也用x t 或x t表示。 时间序列中的元素称为观测值。xt既表示随机过程，也表示时间序列。xt既表示随机过程的元素随机变量，也表示时间序列的元素观测值。在不致引起混淆的情况下，为方便，xt 也直接表示随机过程和时间序列。7) 滞后算子(1) 一阶滞后算子。L 称为滞后算子，其定义是：L x t = xt-1 (2) 高阶滞后算子
6、。L2 x t = xt- 2， Ln x t = xt- n8）差分时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算叫差分。对于时间序列x t ， （1）一阶差分可表示为 D x t = x t - x t -1 = x t - L x t =(1- L) x t (2.1)其中D 称为一阶差分算子。D =(1- L) （2）二次一阶差分表示为， D2xt = D xt - D xt -1 = (xt - xt -1) (xt-1 - xt -2) = xt - 2 xt -1+ xt 2，或 D2xt = (1- L ) 2 xt = (1 2L + L 2 ) xt = xt 2 xt-1+ x
7、t2 (2.2)(3)k阶差分可表示为 Dk xt = xt - xt -k = xt Lk xt =(1- Lk ) xt k阶差分常用于季节性数据的差分。9）两种基本的随机过程(1)白噪声（white noise）过程对于随机过程 xt , tT , 如果(1) E(xt) = 0, (2) Var (xt) = s 2 1也就是 | f1| 1解释如下：一阶自回归过程，xt = f 1 xt-1 + ut，可写为 (1- f1L) xt = ut 在 | f1| 1条件下，有xt = (1+ f1L + (f1 L) 2 + (f1 L) 3 +) ut 若保证AR(1)具有平稳性，必须
8、收敛，即f1必须满足|f1| 1。这是容易理解的，如果|f1| 1，发散，于是xt 变成一个非平稳随机过程。（2）一阶自回归过程的均值方差由（2.7）式有 xt = ut + f1 ut-1 + f12 xt-2 = ut + f1 ut-1 + f12 ut-2 + （短记忆过程）因为ut 是一个白噪声过程，所以对于平稳的AR(1)过程 E(xt) = 0 Var (xt) = su2 + f12 su2 + f14su2 + = 上式也说明若保证xt平稳，必须保证 | f1| 1。例1：有AR(1) 模型 xt = x t-1 + ut 则，(1 - 0.6 L ) x t = ut xt
9、 =(1 - 0.6 L )-1ut =0.6 L + 0.36 L2 + 0.216 L3 + ) ut = ut ut-1 ut-2 + 0.216 ut-3 + 上式变换为一个无限阶的移动平均过程。 （3）一般的自回归过程AR (p)平稳性对于一般的自回归过程AR (p)，特征多项式F (L) = 1 - f1 L - f2 L2 - - fp Lp = (1 G1 L) (1 G2 L) . (1 Gp L)则xt 可表达为 xt = F -1 (L) ut = (+ +)ut , (2.8)其中k1, k 2, , k p 是待定系数。xt 具有平稳性的条件是 F -1 (L) 必须收敛，即应有| Gi | 1。由上式可看出一个平稳的AR(p)过程可以转换成一个无限阶的移动平均过程（p个无穷级数之和）。 对于自回归过程AR(p)，如果其特征方程 F (z) = 1- f 1 z - f 2 z2 - - f p z p= 0 (2.6)的所有根的绝对值都大于1，则AR(p)是一个平稳的随机过程。保证AR(p) 过程平稳的一个必要但不充分的条件是p个自回归系数之和要小于1，即 重新分析随机游走过程。因为 f1 = 1，所以随机游走过程是一个非平稳的随机过程。 图2
