《中考数学命题研究 第三编 综合专题闯关篇 专题五 猜想、探究与证明试题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学命题研究 第三编 综合专题闯关篇 专题五 猜想、探究与证明试题(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题五 猜想、探究与证明猜想、探究与证明题型是全国各地中考的热门题型,由于探究型试题的知识覆盖面较大,综合性较强,灵活选择方法的要求较高,再加上题意新颖,构思精巧,具有相当的深度和难度,所以往往作为中考试卷中的压轴题出现,主要用于考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识纵观贵阳5年中考,只有2013年考查了猜想、探究问题,设置在第24题,以解答题的形式出现,分值为12分预计2017年贵阳中考,猜想、探究与证明题型将是重点考查内容,复习时要加大训练力度,中考重难点突破) 与三角形有关的猜想与探究【经典导例】【例】(2013贵阳中考)在ABC中,BCa,ACb,ABc,设c为最长边当a2b2c2
2、时,ABC是直角三角形;当a2b2c2时,利用代数式a2b2和c2的大小关系,探究ABC的形状(按角分类)(1)当ABC三边长分别为6、8、9时,ABC为_三角形;当ABC三边长分别为6、8、11时,ABC为_三角形;(2)猜想:当a2b2_c2时,ABC为锐角三角形;当a2b2_c2时,ABC为钝角三角形;(3)判断当a2,b4时,ABC的形状,并求出对应的c的取值范围【解析】(1)由勾股定理的逆定理可知,6,8,10是一组勾股数,最长边10所对的角是直角,而910,所以当ABC的三边长分别为6,8,9时,最长边9所对的角应小于直角;当ABC的三边长分别为6,8,11时,最长边11所对的角大
3、于90;(2)由勾股定理的逆定理可知,当c2a2b2时,ABC是直角三角形此时,C90,则当c2a2b2时,c边所对的角大于90;(3)根据题意先求出c边长的取值范围,然后分三种情况讨论:锐角三角形;直角三角形;钝角三角形,再具体求出c的取值范围【学生解答】解:(1)锐角;钝角;(2);(3)bacba,2c6,a2b2c2,即c220,0c2,当2c2时,ABC是锐角三角形;a2b2c2,即c220,c2,当c2时,ABC是直角三角形;a2b2c2,即c220,c2,当2c6时,ABC是钝角三角形1(2016内江中考)问题引入:(1)如图,在ABC中,点O是ABC和ACB平分线的交点,若A,
4、则BOC_902()_(用表示);如图,CBO3(1)ABC,BCO3(1) ACB,A,则BOC_1203()_(用表示);(2)如图,CBO3(1)DBC,BCO3(1)ECB,A,请猜想BOC_(用 表示),并说明理由类比研究:(3)BO,CO分别是ABC的外角DBC,ECB的n等分线,它们交于点O,CBO n(1)DBC,BCOn(1) ECB,A,请猜想BOC_ 解:(2)1203().理由如下:BOC180(OBCOCB)1803(1)(DBCECB)1803(1)(180)1203();(3)n(n1)180n(). 2(2016泰安中考)(1)已知:ABC是等腰三角形,其底边是
5、BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且DECDCE,若A60(如图)求证:EBAD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图),(1)的结论是否成立,并说明理由;(3)若将(1)中的“若A60”改为“若A90”,其他条件不变,则AD(EB)的值是多少?(直接写出结论, 不要求写解答过程) 证明:(1)过D点作DFBC交AC于点F,则ADDF,FDCECD.又DECECD,FDCDEC,EDCD,又DBEDFC120,DBECFD,EBDF,EBAD;(2)EBAD成立理由如下:过D点作DFBC交AC的延长线于点F,则ADDF,FDCE
6、CD.又DECECD,FDCDEC,EDCD,又DBEDFC60,DBECFD,EBDF,EBAD;(3)AE(BD).3【问题探究】(1)如图,在锐角ABC中,分别以AB,AC为边向外作等腰ABE和等腰ACD,使AEAB,ADAC,BAECAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系,并说明理由;【深入探究】(2)如图,在四边形ABCD中,AB7 cm,BC3 cm,ABCACDADC45,求BD的长;(3)如图,在(2)的条件下,当ACD在线段AC的左侧时,求BD的长 解:(1)BDCE. 理由如下:BAECAD, BAEBACCADBAC,即EACBAD, 又AEAB,ACAD,EA
7、CBAD, BDCE; (2)如图,在ABC的外部,以点A为直角顶点作等腰直角BAE,使BAE90,AEAB,连接EA,EB,EC. ACDADC45, ACAD,CAD90, BAECAD90,BAEBACCADBAC,即EACBAD, EACBAD(SAS),BDCE. AEAB7, BE7,AEBABE45, 又ABC45, ABCABE454590, EC, BDCE cm,BD的长是 cm; (3)如图,在线段AC的右侧过点A作AEAB于点A,交BC的延长线于点E,BAE90, 又ABC45, EABC45, AEAB7,BE7, 又ACDADC45, BAEDAC90, BAEBA
8、CDACBAC,即EACBAD, EACBAD, BDCE, BC3, BDCE73(cm),BD长是(73)cm.4(2016河南中考)(1)发现如图1,点A为线段BC外一动点,且BCa,ABb.填空:当点A位于_CB延长线上_时,线段AC的长取得最大值,且最大值为_ab_. (用含a,b的式子表示) (2)应用点A为线段BC外一动点,且BC3,AB1.如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. 请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;直接写出线段BE长的最大值(3)拓展如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),
9、点P为线段AB外一动点,且PA2,PMPB,BPM90.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标 解: DCBE.理由如下: ABD和ACE为等边三角形, ADAB,ACAE, BADCAE60, BADBACCAEBAC,即CADEAB,CADEAB. DCBE; BE长的最大值是4;(3)AM的最大值为32,点P的坐标为(2,) 5(2016丹东中考)如图,ABC与CDE是等腰直角三角形,直角边AC,CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P为AD的中点,连接AE,BD.(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系,请直接写出结论;(2)现将图中的CDE绕着点C顺时针旋转
10、(090),得到图,AE与 MP,BD分别交于点G,H.请判断(1)中的结论是否成立?若成立,请证明; 若不成立,请说明理由;(3)若图中的等腰直角三角形变成直角三角形,使BCkAC,CDkCE,如图,写出PM与PN的数量关系,并加以证明 解:(1)PMPN,PMPN;(2)(1)中的结论成立理由如下:设BC与AE交于点O.ACB和ECD是等腰直角三角形,ACBC,ECCD,ACBECD90,ACBBCEECDBCE,ACEBCD,ACEBCD,AEBD,CAECBD.又AOCBOE,CAECBD,BHOACO90.点P,M,N分别为AD,AB,DE的中点,PM2(1)BD,PMBD;PN2(
11、1)AE,PNAE,PMPN,MGEBHA180,MGE90,MPN90,PMPN;(3)PMkPN.理由如下:ACB和ECD是直角三角形,ACBECD90,ACBBCEECDBCE,ACEBCD.BCkAC,CDkCE,AC(BC)CE(CD)k,BCDACE,BDkAE.点P,M,N分别为AD,AB,DE的中点,PM2(1)BD,PN2(1)AE,PMkPN. 与四边形有关的猜想与探究6(2015威海中考)猜想与证明: 如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM,ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结
12、论 拓展与延伸: (1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为_;(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF的中点,试证明(1)中的结论仍然成立 解: 猜想与证明 DMME.证明:如图1,延长EM交AD于点H, 四边形ABCD和CEFG是矩形,ADEF,EFMHAM, 又FMEAMH,FMAM,在FME和AMH中, FMEAMH,(FMAM,)FMEAMH(ASA)HMEM, 在RtHDE中,HMEM,DMHMME,DMME.拓展与延伸(1)DMME且DMME;(2)如图2,连接AE,
13、 四边形ABCD和ECGF是正方形,FCE45,FCA45, AE和EC在同一条直线上,在RtADF中,AMMF,DMAMMF, 在RtAEF中,AMMF,AMMFME, DMME. 7(2016龙东中考)已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A,C 重合),分别过点A,C向直线BP作垂线,垂足分别为点E,F,点O为AC的中点(1)当点P与点O重合时如图1,易证OEOF;(不需证明)(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当OFE30时,如图2、图3的位置,猜想线段CF,AE,OE之间有怎样的数量关系?请写出对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明 解:(2)图2中的结论为:CFOEAE.图3中的结论为:CFOEAE.选图2中的结论证明如下:延长EO交CF于点G,AEBP,CFBP,AECF,EAOGCO,EOAGOC,OAOC,EOAGOC,EOGO,AECG,在RtEFG中EOOG,OEOFGO,OFE30,OFG9