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1、高中数学考点荟萃献给2012年高三(理科)考生 一.集合与简易逻辑 使 1.注意区分集合中元素的形式.如: 求实数p的取值范函数的定义域;3围.(答:函数的值域; 2 函数图象上的点4.原命题;逆命题;集. 否命题: ;逆否命题: 2.集合的性质: ?任何一个集合A是它;互为逆否的两 本身的子集,记为个命题是等价的.如: ?空集是任何集合的子集,记为是的 条件.(答:充分非必要条件) ?空集是任何非空集合的真子集;注5.若且则p是q的充分意:条件为在讨论的时候不要遗非必要条件(或q是p的必要非充分条忘了的情况 件). 如:如6.注意命题的否定与它的否命 果求a的取值.(答:题的区别: 命题的否
2、定是 ;否命题是? 命题“p或q”的否定是且;p且q”的否定是或; 如:“若a和b都是偶数，则是()(); 偶数”的否命题是“若a和b不都是偶()() . 数,则是奇数” ? 否定是“若a和b都是偶数,则是奇数常见结论的否定形式 ?元素的个数: . ?含n个元素的集合的子集个数为 2n;真子集(非空子集)个数为; 非空真子集个数为 3.补集思想常运用于解决否定型或正面 较复杂的有关问题。 如:已知函数 在区间上至少存在一个实数c, 高中数学(理科)基础知识归类第1页(共21页) 的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3.函数的三要素:定义域,值域,对应法则.研
3、究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母偶次根式被开方数非负;对数真数底数;零指数幂的底数; 且 实际问题有意义;若f(x)定义域为 a,b,复合函数fg(x)定义 域由解出;若 fg(x)定义域为a,b,则f(x)定 义域相当于时g(x)的值域. 5.求值域常用方法: ?配方法(二次函数类);?逆求法(反函数法);?换元法(特别注意新元的范围). ?三角有界法:转化为只含正 弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来 求值域; ?不等式法?单调性法;?数形结合: 根据函数的几何意义,利用数形结合的 方法来求值域; ?判别式法(慎用):?导数法(一般 适用
4、于高次多项式函数). 6.求函数解析式的常用方法:?待定系 数法(已知所求函数的类型); ?代换 二.函数 (配凑)法; 1.?映射是:? “一对一 ?方程的思想-对已知等式进行或多对一”的对应;?集合A中的元素赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函必有象且A中不 数的方程组。 同元素在B中可以有相同的象;集合7.函数的奇偶性和单调性 B中的元素不一定有原象(即象集 ?函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方 ?一一映射: ?“一对法有定义法、图像法等; ?若f(x)是偶函数,那么一”的对应;?A中不同元素的象必不 同,B中元素都有原象;定义域含零的|x 是特殊的映射.特
5、殊奇函数必过原点; 在定义域A和值 2.函数域B都是非空数集据 ?判断函数奇偶性可用定义的等价此可知函数图像与x轴 形式:或 高中数学(理科)基础知识归类第2页(共21页) ; ?若对时恒成立,则 ?复合函数的奇偶性特点是:“ 注意:若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断;既奇又偶的函数有无数个 (如定义域关于原点对称即可). ?奇函数在对称的单调区间 ?复合函数单调性由“同增异减”判定. (提醒:求单调区间时注意定义域) 如:函数的单 2 图像关于直线 对称; ?函数的图像关于直线 对称(由 与 确定); ?函数 的图像关于直线 对称; ?函数的图像关于直线 A2 对称(由2 确定
6、); 调递增区间是_.(答:(1,2) 8.函数图象的几种常见变换?平移变换:左右平移-“左加右减”(注意是针对x而言); 上下平移-“上加下减”(注意是针 对f(x)而言).?翻折变换:; ?对称变换:?证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ?证明图像C1与C2的对称性,即证 ?函数与的图像关于原点成中心对称;函数的图像关于点(,)对称; 22mn ?函数与函数的图像关于直线对称;曲线C1:关于 的对称曲线C2的方程为或; 曲线C1:关于点(a,b)的对称曲线C2方程为: 9.函数的周期性:?若对时恒成立,则 f(x)的 |; 周期为2|a ?若是偶函
7、数,其图像又关于直线对称,则f(x)的周期为2|a|; ?若奇函数,其图像又关于直线对称,则f(x)的周期为 C1上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在C2上,反之亦然. ?函数与的图像关于直线轴)对称;函数与函数 的图像关于直线轴)对称; ?若函数对时，或恒成立,则图像关 于直线对称; 高中数学(理科)基础知识归类第3页(共21页) 4|a|; ?若关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)的周期为; ?的图象关于直线对称,则函数的周期为; ?对 时,或 二次函数在闭区间上必有最值，求最值 问题用“两看法”: 一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 14.二次函数解析式的三种形
8、式: ?一般式:;?顶点式: ; ?零点式:一元二次方程实根分布:先画图再研究、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 16.复合函数:?复合函数定义域求法:若f(x)的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域可由 R 解出;若fg(x) 不等式1f(x) ,则的周期为 2|a|; 10.对 数: ? ;?对数恒等 式; ? 的定义域为a,b,求f(x)的定义域，相当于时,求 M ?复合函数N 的单调性由x)的值域;“同增异减”判定. ; 17.对于反函数,应掌握以下一些结论:1 ;?对数换底公 ?定义域上的单调函数必有反函数;?n 奇函数的反函数 式 也是奇函数;?定义域为非单元素集logN
9、 的偶函数不存在反函数;?周期函数不logba 存在反函数; ; ?互为反函数的两个函数在各自的定 推论: 义域具有相同的单调性;?与 11n 互为 1 . 反函数,设f(x)的定义域为A,值域 (以上 为则有 且均不等于1) 方程)有解(D为 18.依据单调性,利用一次函数在区间上f(x)的值域);恒成立 的保号性可解决求一类参数的范围问 最大值), 题: 恒成立最小值或12.恒成立问题的处理方法:?分离参数 或法(最值法); ?转化为一元二次方程根 的分布问题; 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合; 高中数学(理科)基础知识归类第4页(共21页) (xB ); 的图 19.函数; 3.等
10、差数列的性质: ? ; 像是双曲线:?两渐近线分别直线 由分母为零确定)和 c ? 反之不一定成立);特别地,当时,有; ?若an、bn是等差数列,则、t是非零常数)是等差数列; ?等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列; ?等差数列an,当项数为2n时,S偶奇奇;项数为 S偶 直线由分子、分母中x的系数 c 确定);?对称中心是点;?反 cc 函数为; 20.函数:增区间 b 为,减区间为 如:已知函数在区间 上为增函数,则实数a的取值 范围是_(答: 21 时, S偶奇中且S奇 S偶 ,; 三.数列 1. 由 Sn 求 AnBn anbn 注意* 验证a1是否包含在后面
11、an的公式中,若不符合要 单独列出.如:数列an满足 ，求an(答: 53 )的递减(或递增) ?首项为正(或为负的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 或也可用 的二次函数关系来分析. ?若 则 ;若则 ; 2.等差数列d为 若则Sm+n=0;常数,Sm);等比数列 dd n an 2 高中数学(理科)基础知识归类第5页(共21页) . 5.等比数列的性质 ? n;?若 三个数成等比的设法:,a,aq;四 q a 个数成等比的错误设法: aq an、bn是等比数列，则kan、anbn等也是等比数列; ? ,aq,aq3(为什么,) q a 用作差法: 7.数列的通项的求法:?
12、公式法:?等差数列通项公式;?等比数列通项公式. ?已知Sn(即 ;?反之不一定成 立);?等比数列中注:各项均不为0) 仍是等比数列. ?等比数列an当项数为2n时,时, S奇偶 ?已知求an用作 商法: 求an用迭加法. ?若a ?已知求an用迭乘法. an S偶S奇 ;项数为 ?已知数列递推式求an,用构造法(构造等差、等比数列):?形如为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后, 再求an.?形如 6.?如果数列an是等差数列,则数列如果Aan(Aan总有意义)是等比数列; 数列an是等比数列, |a|是 则数列loagan 等差数列; ?若an既是等差数列又是等比
13、数列,则an是非零常数数列; ?如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数;如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项; ?三个数成等差的设法:;四个数成等差的设法:; 的递 推数列都可以用 “取倒数法”求通项. 8.数列求和的方法:?公式法:等差数列,等比数列求和公式;?分组求和法;?倒序相加;?错位 相减;?分裂通项法.公式: 2 16 1 ; ; 2 ; ;常见裂项公式 高中数学(理科)基础知识归类第6页(共21页) 1n ; 1 边共线;终边 与终边关于x轴对称;终边与终边关于y轴对称 ;终边与 kn 1 11 ) ; 1 1n! 缩 2 终边关于原点; 对称 常见放公 1式 : 2 终边与终边关于角终边对称;扇形面积公式: 11 ;1弧度(1rad)? S扇形2 2 . 9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题 ?这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算 “
