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1、等腰三角形性质及判定（基础）【学习目标】1,掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直.2.掌握等腰三角形的判定定理.3,熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角如图所示，在 ABC中，AB= AC,则它叫等腰三角形，其中AR AC为腰，BC为底边,/ A是顶角，/ B、/C是底角.要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45。.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角
2、可为钝角（或直角）.18n a/ A= 180 2/ B, / B= / C= 18nA .2要点二、等腰三角形的性质1 .等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角）.性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线 合一”）.2 .等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等,是证明角相等的一个重要依据.性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等.3 .等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高 （顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴.要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么
3、这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题1、如图，在 ABC中，D在BC上，且 AB= AC= BD, / 1 = 30 ,求/ 2的度数.A【答案与解析】解： AEJ= ACB =Z C AB= BD2=Z 3 / 2=Z 1 + Z CZ2=Z 1 + ZB / 2+Z 3+Z B= 180B= 180 2/22=/ 1 + 180 2/23/2=/ 1 + 180 / 1 = 302
4、=70【总结升华】 解该题的关键是要找到/ 2和/ 1之间的关系，显然/ 2=Z 1 + Z C,只要再找 出/ C与/2的关系问题就好解决了，而/ C= / B,所以把问题转化为 ABD的角之间的关 系，问题就容易的多了 .关于角度问题可以通过建立方程进行解决 .举一反三：【变式】已知：如图， D E分别为 AB AC上的点，AC= BC= BD, AD= AE, DE= CE, 求/ B的度数.【答案】解： AC= BC= BD, AD= AE, DE= CE,设/ ECD= / EDC= x , / BCD= / BDC= y ,贝U/ AED= Z ADE= 2x , / A= /B=
5、180 - 4x在 ABC中，根据三角形内角和得，x + y + 180 - 4x +180 - 4x = 180 又A、D B在同一直线上，2x+x+y=180由，解得x = 36，/B=180 - 4x= 180 144 = 36类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40。，求其余各角.【思路点拨】 唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40。的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.【答案与解析】解：(1)当40。的角为顶角时，由三角形内角和定理可知： 两个底角的度数之和=180 -40 = 140 ,又由等腰三角形的性质可知：两底
6、角相等，1故每个底角的度数一14070 ;2(2)当40的角为底角时，另一个底角也为40 ,则顶角的度数=180 40 40 = 100 .，其余各角为 70 , 70或40 , 100 .【总结升华】 条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏33. (2015春?安岳县期末)已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组2直+b=13(1)求a、b的值.(2)求这个等腰三角形的周长.【答案与解析】.，八 f4a-3b=ll解：(1)(，=13X 2-得5b=15,解得b=3,把b=3代入得2a+3=13,解得a=5;(2)若a=5为腰长，5+53满足，此时三角形周长为：
7、5X2+3=13;若b=3为腰长，3+35满足，此时三角形周长为：3X2+5=11.【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题.举一反三：【变式】(2015?谷华区模若 x, y满足|x - 3|+犷彳=0,则以x, y的值为两边长的等腰三角形的周长为()A. 12B.14【答案】C.解：根据题意得，x- 3=0, y - 6=0,解得 x=3, y=6,3是腰长时，三角形的三边分别为,-3+3=6,.不能组成三角形，3是底边时，三角形的三边分别为 能组成三角形，周长 =3+6+6=15,C. 153、 3、 6,3、6、6,D. 12 或
8、 15所以，三角形的周长为 15.故选C.已知：如图，类型三、等腰三角形性质和判定综合应用ABC中，/ ACB= 45 , ADLBC于 D, CF交 AD于点 F,连接 BF并延长交 AC于点E, / BAD= / FCD求证：(1) AABID ACFD (2) BE!AC【思路点拨】 此题由等腰三角形的判定知AD= DC易证4 AB ACFD要证BEX AC,只需证Z BEC= 90 即可，DF= BD 可知/ FBD= 45 ,由已知/ ACD= 45 ,可知/ BEC= 90 . 【答案与解析】证明：(1)AD BC/ADC= /FDB= 90ACB 45 ,ACB DAC 45AD
9、= CDBAD FCD , AABID ACFD(2) . AB里ACFD BD= FD. ZFDB= 90 , FBD BFD 45 .ACB 45 , BEC 90 . BEX AC【总结升华】 本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理, 等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证 AB里 ACFtD 推出 BD=FD 求出/ FBD至 BFD=45 .举一反三:【变式】（20167W淀区校级模拟）如图，已知/ BAC=90 , AD，BC于点D, / 1 = /2, EF / BC交AC于点F,试说明 AE=CF .【思路点拨】
10、 作EH，AB于H,作FGBC于G,根据角平分线的性质可得EH=ED ,再证ED=FG ,贝U EH=FG ,通过证明 AEH0CFG 即可.【答案与解析】解：作 EHXAB于H,作FGLBC于G, / 1 = /2, AD BC, .EH=ED (角平分线的性质). EF/BC, AD BC , FGXBC,四边形EFGD是矩形，.ED=FG ,.EH=FG , / BAD +/ CAD=90 , / C+/ CAD=90 , ./ BAD= / C,又. / AHE= / FGC=90 ,AEHA CFG (AAS).AE=CF .【总结升华】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、 全等三角形的判定等知识点.
