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1、函数的奇偶性专题复习一、 函数奇偶性的概念：（1） 偶函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。（2） 奇函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。（3） 如果函数是奇函数或是偶函数，我们就说函数具有奇偶性。注意：1、判定函数的奇偶性，必须先求定义域。2、不要盲目判断与的关系，要先看定义域是否关于原点对称。二、对奇偶性的理解：（1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。若是定义域中的一个数值，则也必然在定义域中，因此，函数是奇函数或是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称
2、，则这个函数必不具奇偶性。（2）若奇函数在处有定义，则。（3）为偶函数，为奇函数。（4）函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，而单调性是相对于定义域内某个区间而言的，是局部性质。三、 奇偶函数的图象与性质：（1） 奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称；反过来，图象关于原点对称的函数是奇函数。（2） 偶函数的图象特征：偶函数的图象关于轴对称；反过来，图象关于轴对称的函数是偶函数。（3） 重要性质：奇函数在和上有相同的单调性；偶函数在和上有相反的单调性。四、 函数奇偶性的判断方法：判断函数奇偶性常见的方法有定义法、图像法、性质法。（1）用定义法判断函数奇偶性的一般步骤：考察定义域是否关于原点
3、对称；判断或或是否成立。得出结论。（2）图像法：一个函数为奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(轴)对称。考查点1：有关函数奇偶性的判断或证明的问题（一）一般函数奇偶性的判断例1 判断函数的奇偶性。例2 判断函数的奇偶性。（二）抽象函数的奇偶性的判断例3 已知对任意实数都有。求证的奇偶性。 （三）分段函数的奇偶性的判断例4 判断函数的奇偶性。考查点2：应用函数奇偶性求值、求解析式例5 设是上的奇函数，当时，求的值。例6 已知是定义在R上的奇函数，且当时，求的解析式。考查点3：有关函数奇偶性的综合问题（一）解与函数奇偶性有关的不等式例7 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 （ ）A、
4、B、C、D、（二）与函数奇偶性有关的函数单调性问题例8 若函数和都是奇函数，且在上有最大值5，则在上 （ ）A、有最小值-5 B、有最大值-5C、有最小值-1 D、有最大值-3（三）与奇偶性有关的综合问题例9 设函数对任意，都有，且当时，。（1）求证是奇函数；（2）当时，是否有最值？如果有，求出最值，如果没有，说出理由。练习题1、（2010.广东高考）若函数与的定义域为R，则 （ ）A、与均为偶函数B、为偶函数，为奇函数C、与均为奇函数D、为奇函数，为偶函数2、（2010.山东高考）设为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则等于 （ ）A、-3 B、-1 C、1 D、33、（2010.江苏高考）设函数，是偶函数，则实数_。4、（2009.陕西高考）定义在R上的偶函数，对任意，有，则 （ ）A、B、C、D、5、（2011.山东模拟）函数是R上的函数，且在上函数单调递减，则不等式的解集是（ ）A、 B、C、D、6、（2011.山东模拟）函数当时有意义，且满足条件，是增函数。（1）求证；（2）若，求的取值范围。
