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1、一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体由若干个平面多边形围成的几何体围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。其中，这条定直线称为旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。 旋转体的轴。（2 ）柱，锥，台，球的结构特征1.棱柱1.1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的斜棱柱底面是正多形直棱柱其他棱柱川正棱柱关系:底面为矩形四棱柱底面
2、为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面一直平行六面体k长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等.正方体1.3棱柱的性质:棱柱棱垂直于底面 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.4长方体的性质： 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的2 2 2 2图】ACi 二 AB AD AAi （了解）长方体的一条对角线AC1与过顶点A的三条分别是，：， ，那么 cog-：cOs： cOs= ， 1棱所成的角平方和；【如sin2 二 gin2 ： sin2 =2 ； （了解
3、）长方体的一条对角线ACi与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是，贝sin2-： 1 sin -siin二 dos2-： 1 co coS 二.21.5侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形SW棱柱侧_ c十1.6面积、体积公式:（其中c为底面周长，h为棱柱的高） %棱柱全c h 2S底，V棱柱二s底h2.圆柱2.1圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱余各边旋转等圆；过轴的B底面2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是截面（轴截面）是全等的矩形2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形
4、2.4面积、体积公式：22r、，3.棱锥3.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各 共顶点的三角形，由这些面所围成的几 锥。正棱锥如果有一个棱锥的底面 并且顶点在底面的射影是底面的中心， 做正棱锥。3.2棱锥的性质：平行于底面的截面是与底面相似的正 比等于顶点到截面的距离与顶点到底侧棱/I底面顶点侧面面是有一个公 何体叫做棱是正多边形， 这样的棱锥叫斜高多边形，相似 面的距离之S圆柱侧=2二rh ； S圆柱全=2二rh 2二r ，V圆柱=S底h=二r h （其中r为底面半径，h为圆柱高）顶点到截面S母纟hI轴截面rAO顶点侧面以母线长为B底面5.棱台5.1棱台用一个平行于底面的平面去截棱 与底面之
5、间的部分称为棱台.5.2正棱台的性质： 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； 正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是 如右图：四边形OMNO,OBBO都是直角梯 棱台经常补成棱锥研究.如右图：|_SOM 与_SON,_SOB 与SOB相似，注意考顶点S侧棱O*下底面B上底面高侧面斜高锥，我们把截面正多边形；形虑相似比比； 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四 个直角三角形。）（如上图：|_SOB,_SOH,_SBH,_OBH为直角三角形）3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有 n个全等
6、的等腰三角形组成的。3.4面积、体积公式：111S正棱锥侧-ch，S正棱锥全- ch - S底，V棱锥S底 h.（其中c为底面周长，h侧面斜223高，h棱锥的高）4.圆锥4.1圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥。4.2圆锥的性质: 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于 的距离与顶点到底面的距离之比； 轴截面是等腰三角形；如右图：LSAB如右图：12 = h2 r2.4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心, 半径的扇形。4.4面积、体积公式：1 2S圆锥侧=二rl，s圆锥全=二r （r 丨），V圆锥= r
7、 h （其中3r为底面半径，h为圆锥的高，I为母线长）1 5.3棱台的表面积、体积公式：S全=S底+ S下底+ S侧，V棱台=（S4.SS S）h ,（其中S,S是上，下底面面积,3h为棱台的高）6.圆台6.1圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 的部分叫做圆台6.2圆台的性质： 圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆； 圆台的轴截面是等腰梯形； 圆台经常补成圆锥来研究。如右图：|_SOA与SOB相似，注意相似比的应用6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；底面与截面之间. 2 26.4圆台的表面积、体积公式：爲=二r :;鑒R :（R r）l ,V圆台=-（S+ SS S）h=1 （二r2 ：
8、%rR ：%R2）h ,（其中r, R为上下底面半径，h为高）337.球7.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.2球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面；r八R2 -d2 （其中，球心到截面的距离为径为R、截面的半径为7.3球与多面体的组合体:r)球与正四面体，球与长为圆的问题解决为球的半径）d、方体，球注：球的有关问题转化例：（06年福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上,7.4球面积、体积公式：S球二4- R2,V球且球的体积为娄二，则正方体的棱长为3R3
9、(其中R（二）空间几何体的三视图与直观图1投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2三视图一一是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形; 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影， 侧视图光线从几何体的左面向右面正投影， 正视图光线从几何体的上面向下面正投影， 注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”得到的投影图；得到的投影图； 得到的投影图； 与正视图相等；侧视图画在正视图的右边,“高度”与正视图相等,“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽” （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。3直观图：直观图通常是在平行投影
10、下画出的空3.1直观图一一是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。点A在平面a外点B在平面1内Bea直线比与平面a相交于点a二；间图形。3.2斜二测法：stepl:在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy,（即取Exoy =90 ）；step2：画直观图时，把它画成对应的轴 ox,oy，取/xoy =45 （ or135 ），它们确定的平面表示水平平面；step3：在坐标系xoy中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。/2结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的倍.4解
11、决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”（2 ）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。第二章点、直线、平面之间的位置关系（一） 平面的基本性质1. 平面无限延展，无边界1.1三个定理与三个推论公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内图形语言：符号语言： 公理2:不共线的三点确定一个平面.图形语言：推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.图形语言：推论2：两条相交直线确定一个平面.图形语言：推论3：两条平行直线确定一个平面 图形语言：用途：用于确定平面。公理3：
12、如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有公共点， 这些公共点的集合是一条直线 （两个平面的交线） 用途：常用于证明线在面内，证明点在线上图形语言：符号语言：形语言，文字语言，符号语言的转化：图形语言文字语言符号语言点A在宜线已上A花订点B在直线已外宜线;1在平iffi a内灯U Ct直线b在平面a外丘直线丑与直线b交于点A arb = Aaflp i. 空间直线的位置关系:共面:a 门 b=A,a/b异面:a与b异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：a/b,b/c= a/c图形语言:1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或
13、互补。1.3异面直线：（1）定义：不冋在任何一个平面内的两条直线异面直线；（2 ）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。P更0（A“-.符号语言：PA与异面auot jA: a1.4异面直线所成的角：（1）范围：三0 ,90 1；（ 2）作异面直线所成的角：平移法所成的二角为异把一条异面直线形成异面直线所如右图，在空间任取一点 O,过O作a/a,b/b，则a, b面直线a,b所成的角。特别地，找异面直线所成的角时, 平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上, 成的角.2. 直线与平面的位置关系:l /（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）
14、1. 线面平行： 定义：直线与平面无公共点 判定定理：a/baum 二aa （线线平行 二 线面平行）【如图】baaa/ :-性质定理：a二:叩3a/b （线面平行=线线平行）【如图】=b判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）=（用于判断）；（ii）判定定理:a/b=a/“线线平行=面面平行”（用于证明）；（iii ）7 = a面面平行a :=线面平行”（用于证明）；(4)（用于判断）；2. 线面斜交：直线与平面所成的角（简称线面角） 斜线在平面内射影的夹角。 【如图】in： =a的射影，贝y PA0就是直线PA与平面所成的角。范围：V 0 ,90 1 ，注：若I u a或| / a，则直线I与平面a0 ;若I _，则直线I与平面:所成的角为90 。3. 面面平行：所成
