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1、 .补课讲义平面向量一、平面向量的概念与线性运算A.基础梳理1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1) 交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a
2、ba(b)3.向量的数乘运算与其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2)运算律：设，是两个实数，则(a)()a；()aaa；(ab)ab.4共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.B.方法与要点1、一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量2、两个防(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意
3、向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合C.双基自测1(人教A版教材习题改编)D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()ABC.D.2判断以下四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.正确的个数是()A1 B2 C3 D43若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.B.C.D.4(2011)如图，正六边形ABCDEF中，()A0 B.C.D.5设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_D.考点解析考点一平面向量的概念
4、例1以下命题中正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行训练1 给出以下命题：若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若a与b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中正确命题的序号是_考点二平面向量的线性运算例2如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.0B.0C.0D.0训练2 在ABC中，c，b，若点D满足2， ()A.bc B
5、.cbC.bc D.bc例3设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线训练3 (2011模拟)已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是()A2 B1C1 D1二、平面向量基本定理与其坐标表示A.基础梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面所有向量的一组基底2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量与向量的模设a(x1，y1)，b(x
6、2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b共线B.方法与要点1、一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a(x，y)当平面向量平行移动到时，向量
7、不变，即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化2、两个防(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.C.双基自测1(人教A版教材习题改编)已知a1a2an0，且an(3,4)，则a1a2an1的坐标为()A(4,3) B(4，3)C(3，4) D(3,4)2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c()A3abB3abCa3b Da3b3(2012月考)设向量a(m,1)，
8、b(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为()A1 B1 C2 D24设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c()A(4,6) B(4，6) C(4，6) D(4,6)5已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.D.考点解析考点一平面向量基本定理的应用例1如下图，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则_.训练1 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若xy，则x_，y_.考点二平面向量的坐标运算例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.求M，N的坐标
9、和.训练2 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)考点三平面向量共线的坐标运算例3已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数k，使得kab与a3b共线，且方向相反？训练3 (2011质检)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A.B.C.D.三、平面向量的数量积A.基础梳理1两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab
10、.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.3向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的数量积4向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos ；(2)abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别的，aa|a|2或者|a|；(4)cos ；(5)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba；(2)
11、ab(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.6平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则(1)abx1x2y1y2；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)abab0x1x2y1y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，则|a|(平面两点间的距离公式)B.方法与要点1、一个条件两个向量垂直的充要条件：abx1x2y1y20.2、两个探究(1)若ab0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若ab0，能否说明a和b的夹角为钝角？3、三个防(1)若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a
12、bac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120，而不是60.C.双基自测1(人教A版教材习题改编)已知|a|3，|b|2，若ab3，则a与b的夹角为()A. B.C. D.2若a，b，c为任意向量，mR，则以下等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc) B(ab)cacbcCm(ab)mambD(ab)ca(bc)3(2011)若向量a，b，c满足ab，且ac，则c(a2b)()A4 B3 C2 D04已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于()A9 B4 C0 D45(2011)已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_D.考点解析考点一求两平面向量的数量积例1在ABC中，M是BC的中点，|1，2，则()_
