《陕西省西安市田家炳中学高一数学从力做功到向量的数量积学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《陕西省西安市田家炳中学高一数学从力做功到向量的数量积学案（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、陕西省西安市田家炳中学高一数学从力做功到向量的数量积学案【学习目标】（1） 理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3） 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.【学习难点】运算律的理解【知识衔接】1.已知(x1, y1) (x2, y2) 求+，-的坐标；2.已知(x, y)和实数, 求的坐标；3.已知，求的坐标；4.向量、共线的两种判定方法：()、。【学习过程】1.由力做的功：W = |F|
2、s|cosq， q是F与s的夹角；可以定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a|b|cosq， 并规定0与任何向量的数量积为0。2.向量夹角的概念：。范围0q180。由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；要注意的几个问题： 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。 两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。 在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0.这就得性质2.OaAcbab 已知实数a、b、c(b0)，则a
3、b=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA| bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab=bc 但a c 在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3.问题(1).射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影。 注意：射影也是一个数量，不是向量。 当q为锐角时射影为正值； 当q为钝角
4、时射影为负值； 当q为直角时射影为0； 当q = 0时射影为 |b|； 当q = 180时射影为 -|b|.问题(2).如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质. 几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 ea = ae =|a|cosq ab ab = 0 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|。 特别的aa = |a|2或强调：a+b=； cosq =（|a|b|0） |ab|a|b|4.向量数量积的运算满足：1.交换律：
5、ab = ba2.数乘结合律：( a) b = (ab) = a ( b)3.分配律：(a + b) c = ac + bc例1.已知：【巩固练习】3.判断下列各题正确与否： 若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0. ( ) 若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0. ( ) 若a 0，ab = 0，则b = 0. ( ) 若ab = 0，则a 、b至少有一个为零. ( ) 若a 0，ab = ac，则b = c. ( ) 若ab = ac，则b = c当且仅当a 0时成立. ( ) 对任意向量a、b、c，有(ab) c a (bc). ( ) 对任意向量a，有a2 = |a|2. (
6、)【学习反思】【作业布置】主备人：张红卫 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：第2章 平面向量5 从力做功到向量的数量积(2)【学习目标】（5） 理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（6） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （7） 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（8） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.【学习难点】运算律的理解【知识衔接】1.数量积定义：， 并规定0与任何向量的数量积为0。2.向量夹角的概念：。范围0q180。3. 射影定义：叫做向量b在a方向
7、上的射影。4.数量积几何意义：5.数量积性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。； ab ；当a与b同向时，；当a与b反向时， 特别的aa =；cosq =（|a|b|0） ； |ab|。6.向量数量积的运算满足：1.交换律：ab = ba2.数乘结合律：(a) b =(ab) = a (b)3.分配律：(a + b) c = ac + bc【学习过程】例1.已知都是非零向量，且垂直，垂直，求的夹角。例2：在三角形ABC中，设BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明： a2=b+2c2-2bccosAb2=c2+ a2-2cacosBc2= a2+b2-2abcosC例3：证
8、明菱形的两条对角线互相垂直。例4：已知单位向量e1，e2的夹角为600，求向量a=e1+e2，b=e2-2e1的夹角。【巩固练习】【学习反思】【作业布置】3. 主备人：张红卫 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：第2章 平面向量6平面向量数量积的坐标表示【学习目标】（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识.【学习重点】平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示.【学习难点】用坐标法处理长度、角度、垂直问题.【知识衔接】1.
9、数量积定义：， 并规定0与任何向量的数量积为0。2.向量夹角的概念：。范围0q180。3. 射影定义：叫做向量b在a方向上的射影。4.数量积性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。； ab ；当a与b同向时，；当a与b反向时，特别的aa =；cosq =（|a|b|0） ； |ab|。【学习过程】一、平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？1. 推导坐标公式：设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 0.a = x1i + y1j, b = x2i + y2j ab = (x1i +
10、y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2 = x1x2 + y1y2从而获得公式：ab = x1x2 + y1y22.长度、角度、垂直的坐标表示 a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| = 若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则= cosq = ab ab = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）二、由解析几何知，给定斜率为k直线l的，则向量m=（1，k）与直线l共线。我们把与称为直线l的方向向量。三例题讲评：例1：已知a=（3,2），b=（1，-1），求向量a与b的夹角的余弦值。例2：求以点C(a，b)为圆心，r为半径的园的方程。例3：已知园C:（x-a）2+（y-b）2=r2 ，求与圆C相切于点p0（x0，y0）的切线方程。例4： 已知直线l1:：3x+4y-12=0和直线l2:7x+y-28=0,求直线l1与l2的夹角【巩固练习】1.设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求ab2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(-2, 5)，求证：ABC是直角三角形.3.已知a=（3,2），b=（-6,9），求证：ab4.已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足xa = 9与xb = -4的向量x.
