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1、内容综述】设一元二次方程有二实数根可和P这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a，b，c 的关系，称之为韦达定理。其逆命题 也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它 在五个方面的应用。【要点讲解】1求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。例1若a，b为实数，且，求左 的值。思路 注意a，b为方程的二实根；(隐含A-)o(2)当小时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式讦+诂，+兔心 乜等都可以用方程的系数表达出来。一般地
2、，设忑，乜为方程的二根,凡=对+对，则有递推关系。其中 n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a, b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。例2若用用+ 1,亍- 1=0且粗5,试求代数式+八的值。思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得陀+” = 1 用川=一12构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程 例3设一元二次方程X _ + g=o的二实根为長和妙。（1）试求以/和为根的一元二次方程；（
3、2）若以用和俨为根的一元二次方程仍为-芦 + G暑。求所有这样的一元二次方程。解 （ 1 ）由韦达定理知所以，所求方程为2）由已知条件可得(2,1), (-2,1)或(0, 1)。于是,得以下七个方程*_ + l = D, x2 + 2x +1 = 0,解之可得由得颅1分别讨论(p,q) =(0,0), (1,0), (-1,0), (0,1),X2 -1 = 0，其中X2 +1 = 0无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。3证明等式或不等式 根据韦达定理（或逆定理）及判别式,可以证明某些恒等式或不等式。例4已知a, b, c为实数，且满足条件：住=&-乃，八=边-9,求证a=b。证明由已知得
4、I,皿=根据韦达定理的逆定理知，以a, b为根的关于x的实系数一元二次方程为 x2 - 6x + c2 + 9 = D 由 a, b 为实数知此方程有实根。A = （- 6）2 -4p + ?） = -4c2 0c2 = 0，故c=0,从而A=0。这表明有两个相等实根，即有a=b。说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式(-i)2=62-4x9 = 0,即a“。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。4研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。 关于方程3工的实根符号判定有下述定理：(1)方程有二正根令比Q，a
5、b0；方程有二负根令比Q，ab0，ac0；方程有异号二根令色ac 0,(心-l)(x2 - 1) = 6 - a - (- 2a) + 1 0.解之得7 0,(X 1)(x2 1) = 6 a (2a) +1 0.解之得。a + 72 = 0有两个不等的正整数根，则k的值为2.若疋+iih + i& = d , $2+iif + i& = d (F)，贝q3 .已知忑和心是方程*7-1 = 0的二实根，贝2讨+號4.已知方程x2+-rn + l = 0 (m为整数)有两个不等的正整数根，求m的值。B级5已知：長和卅为方程/+M + g=0及方程卅+去忖+严+ 0的实根，其中n为正奇数，且求证：
6、巴 兀匸是方程宀l-El)。的实根。6.已知关于x的方程芒+ =新的二实根良和恋满足於+妙，试求k的值。参考答案由比 + 1）|12 知 k=i，2, 3, 5,12_ 12提示：原方程即陆+加-12仇-1）工-切暑，所以“一丙,11；由恢一珊知k=2, 3, 4, 7。所以k=2, 3,但k=3时原方程有二相等正整数根，不合题意。故k=2。土返。于2.提示：由x, y为方程m2+ll + lfi = 0的二根，知八321提示：由球=忑+ 1,诗=乜+1,可+心=1知,=為 + 2xx + 1）+ 52 + 5x2=2耳（心 + 1 + 2耳 + 1） + 5（x2 + 1） + 5x2=硏
7、+ 4xi + 10x2 + 5=丘（可 + 1） + 1 Ox2 + 5=1CI（H + x2） +1 = 214设二个不等的正整数根为長，夙心）Jcf +斤=一他由韦达定理，有消去m,得L述-烬1依 - 1）怡- 1） = 2。则良- 1 = 1 且 - 1 = 2戊=2 , 心。故陀=-仗+ 0）= -5。5 由韦达定理有茂+弊一戸，療 又良塞+R利良謳+堺謳=D ,护筑+护俨+$ = 0二式相减得口口+#話+丄严=D将小烬-刀代入有卅+P” -価+疔=0从而17丿同理g W 丿巴 万和匸是方程M+i-(+i)H = o的根。6.当a = p时，可知a = p =1，所以14 + k = 3x 12二k = 2，当ap时，易证得汗手严。从而,阱为方程严-宠+疋=。的二不同实根。于是 4 =（住 +=cP +严 +=3+ 2ck/?k = -x - 3xJ +-=0当 4时，方程为4解得取”#x = 1 或I即能符合题意，故k的值为耳。
