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1、第七讲 连续型随机变量（续）及随机变量的函数的分布3. 三种重要的连续型随机变量（1）均匀分布设连续型随机变量X具有概率密度则称X在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为XU(a,b).X的分布函数为（2）指数分布设连续型随机变量X的概率密度为其中0为常数, 则称X服从参数为的指数分布.容易得到X的分布函数为如X服从指数分布, 则任给s,t0, 有PXs+t | X s=PX t(4.9)事实上性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.（3）正态分布设连续型随机变量X的概率密度为其中,(0)为常数, 则称X服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为XN(
2、,).显然f(x)0, 下面来证明令, 得到f(x)具有的性质:（1）.曲线关于x=对称. 这表明对于任意h0有P-hX=PX+h.（2）.当x=时取到最大值x离越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离越远, X落在这个区间上的概率越小。在x=处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。X的分布函数为特别:当=0, = 1时称X服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用(x)和(x)表示, 即有易知(-x)=1-(x) (4.15)人们已经编制了(x)的函数表, 可供查用(见附表2).引理 若XN(,), 则证明：由此知ZN(0,1).若XN(,), 则它的分布函数F(x)
3、可写成:则对于任意区间(x1,x2, 有例如, 设XN(1,4), 查表得设XN(,), 由(x)的函数表还能得到:PX=(1)-(-1) =2(1)-1=68.26%PX=(2)-(-2)=95.44%PXza=a, 0a0时有将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度为例结论的应用：设XN(0,1), 其概率密度为则Y=X2的概率密度为 （5.1）此时称Y服从自由度为1的分布.定理 设随机变量X具有概率密度fX(x), , 又设函数g(x)处处可导且恒有g(x)0 (或恒有g(x)0. 此时g(x)在(，)严格单调增加, 它的反函数h(y)存在, 且在()严格单调增加, 可导. 分别记X
4、,Y的分布函数为FX(x),FY(y). 因Y在()取值, 故当时, FY(y)=PYy=0;当y时, FY(y)=PYy=1.当时,FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXh(y)=FXh(y).将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度对于g(x)0的情况同样可以证明, 有合并(5.3),(5.4)式，命题得证。例 设随机变量XN(). 试证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布.证 X的概率密度为现在Y=g(X)=aX+b, 由这一式子解得由(5.2)式得Y=aX+b的概率密度为即有 Y=aX+bN(a+b, (a)2).这就是上一节引理的结果.例 设电压V=Asin, 其中A
5、是一个已知的正常数，相角是一随机变量，且有。试求电压V的概率密度.解 现在v=g()=Asin，又，的概率密度为由（5.2）式得V=Asin的概率密度为作业 第二章 习题第69页开始第1,6,12,14,16,19,23,28题5 随机变量的函数的分布在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣.例如, 在一些试验中, 所关心的随机变量往往不能由直接测量得到, 而它却是某个能直接测量的随机变量的函数. 比如我们能测量圆轴的直径d, 而关系的却是截面积A=pd2/4. 这里, 随机变量A是随机变量d的函数. 下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数Y=g(X)(g()是已知的连续函数)的概率分布.(特注：y=0时概率为零，但并非不可能事件。)当g(x)0 (或恒有0), 上述定理依然成立, 但此时有=ming(a),g(b),=maxg(a), g(b).
