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1、三角代换巧解不等问题根据题L1的特点，选取恰当的三角代换，能达到化难为易，化繁为简的LI的, 它是解不等式问题中常用的方法，现举例说明。一. 证明不等式例 1 a2+b2 =l,c2+J2 =hiiE： ac + bd l 10证明： 设 a=sina ,b=cos a ,c=sin 卩,d=cos 0则有：I sinasin0 + cosacos01= I cos(a-0) IS 1，问题得证。例 2 已知 a.bwR.+b2 1,求证:la2+2ab-b2l V2解:可设 a=ksina ,b=kcosa，其中lkll p是有Ia2+2ab-b2l=k2lsin2acos2a 1= /2k
2、2 I sin(2a- ) l 41k1 j24例 3.已知 0x a + byX 1 -x分析：0xL 0lxl,且x+(l-x)=l,联想到三角代换。证明：因为0xL 0lx a2 +b2 + 2ab = (a + Z?)2/. + - (a + b)2X 1X例 4 已知一lSxSl,且 n 2,neN 求ffi(l-x)n+(l+x)n 2/r分析：因为lSxSl考虑到右边有1-x与1+x,故联想到利用2倍角余弦公式化简，从而采 用三角代换之。证明：因为一 15x51,设 x=cos2cr,(0 6/ -)则 1 -x= 1 -cos2 or=1 - (1 - 2sin2 a) = 2
3、sin2 a 1+x = 1 + cos2a = 2cos2 a 所以(1 x)n +(l+x) = 2r, sin2/1 a+ 2 cos a 2(sin a + cos a) = 2n故原不等式（l x）“+（l+x） S2成立。二.应用三角代换求最值例5设x.y e /?* 等式Jx + yy 、 + 十)=cos &+ sin 0=41 sin(& + ) Jx+y4&（ 0 ,） （ + ） e sin（ + ） 1244424.a不小于右边函数的最大值，即、/Isin（& +兰）的最大值血。4因此a的最小值是。例6.求y=x+ l-x2的最大值。解:不妨设 x=sina a e- y2 2则变为 y=sina +cosa =、/2sin（a +兰）4故max = 当且仅当Q = 时，能取到最大值。点评：1、三角代换时，要注意新变戢与原变量间的取值范围是否一致。2、三角代换的特点是将原来两个变元x,y问题转化为关于一个变元&的问题，通过换元 达到减元的目的。
