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1、数 形 结 合 在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是选择、填空小题。数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程
2、根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；（5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等1已知集合M，N(x，y)|ax2ya0，且MN，则a()A6或2 B6 C2或6 D2A解析 易知集合M中的元素表示的是过(2，3)点且斜率为3的直线上除(2，3)点外的所有点要使MN，则N中的元素表示的是斜率为3且不过(2，3)点的直线，或过(2，3)点且斜率不为3的直线，3或2a6a0，a6或a2
3、.2.，则a，b，c的大小关系是 ( )A B. C. D.3设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件C解析 当ab0时，可得ab与a|a|b|b|等价当abb时a|a|0b|b|；反之，由a|a|b|b|知a0b，即ab.构造函数f(x)=x|x|利用单调性,画图易求42014安徽卷 若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为()A5或8 B1或5C1或4 D4或89D解析 当a2时，f(x)由图可知，当x时，fmin(x)f13，可得a8.当a0等价于0.根据题设作出f(x)的大致图像如图所示由
4、图可知，0的解集是(，2)(2，)7已知函数f(x)= , 若0x1x2 B = C D 前三个判断都不正确分析：从解析式上看函数与圆的方程有联系，可以转化为圆，画出图形，由数形结合得出结论。解：由函数得知的图象为圆的上半圆，如图，当0x1x2 ，故选A评注：对于函数的图象要熟悉，利用数形结合解答函数的选择题比较形象直观，容易找到关系。8函数f(x)=Msin(x+)(0)在区间a,b上是增函数，且f(x)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(x+)在区间a,b上()A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值M D.可以取得最小值解析：由于是选择题，可用特殊值法，构造一个特殊函数
5、，并通过画出图象进行观察.取M=1，=1，=0，则f(x)=sinx，g(x)=cosx，在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示，从图象中不难看出，在区间,上，即a=,b=时，f(x)=-M=-1,f(b)=M=1，g(x)=cosx这时取得最大值M=1.点拨：这是一道运用图象研究函数性质的典型题目，由于此题是选择题，取M、的特殊值，减化了思维过程，如果此题是一个解答题，则可用换元法，设t=x+，0，t是x的增函数，再根据y=Msint，y=Mcost的图象去分析.9.设函数f(x)=1/x的图象与g(x)=ax2+bx图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（ ）A.当时， B. 当
6、时，C. 当时， D. 当时，解析：B；在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当时，要想满足条件，则有如图，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为，由图象知即，同理当时，则有，故答案选B.另法：，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B.点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。10(2014课标全国，理10)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若，则|QF|()A B3 C
7、D211已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)若xR，f(x1)f(x)，则实数a的取值范围为()A. B. C. D.B解析 因为当x0时，f(x)，所以当0xa2时，f(x)x；当a2x0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_14解析 结合图像得，即T.142014浙江卷 当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_13.解析 实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A(1，0)，B(2，1)，C.当a0时，0y，1x2，所以1axy4不可能恒成立；当a0时，借助图像得，当直线zaxy过
8、点A时z取得最小值，当直线zaxy过点B或C时z取得最大值，故解得1a.故a.15设正项等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，求a4的最大值.解 设等差数列的首项为a1，公差为d, 则S4=4a1+6d10，即2a1+3d5, S5=5a1+10d15，即a1+2d3.又a4=a1+3d, 因此求a4的最值可转化为在线性约束条件 限制之下的线性目标函数的最值问题， 作出可行域,如图 可知当a4=a1+3d，经过点A（1，1）时有最大值4.16（浙江,理17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于_。OABxy分析：本小题主要考查线性规划的相关知识，
9、可考虑特殊情形，比如x0，可得a1；y0可得b1.所以猜测a介于0和1之间，b介于0和1之间。解：不等式组表示的平面区域为，如图，由恒成立知，当时，恒成立，当成立；当时，恒成立，；同理，以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1。答案：1评注：线性规划的相关知识要画出图形，借助图形解答。另外对于恒成立问题，对个例一定成立，还要转为函数的最值。17已知且，则的最大值为 【答案】：【提示】令，这时问题转化为：，求的最值y04x18（2012高考真题浙江理17）设aR，若x0时均有(a1)x1( x 2ax1)0，则a_ 解析：本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：(A)，
10、 无解；(B)， 无解因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题其实在x0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负(如下答图)我们知道：函数y1(a1)x1，y2x 2ax1都过定点P(0，1)考查函数y1(a1)x1：令y0，得M(，0)，还可分析得：a1；考查函数y2x 2ax1：显然过点M(，0)，代入得：，解之得：，舍去，得答案：点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。19(2014温州十校联考)在ABC中，ACB为钝角，ACBC1，xy且xy1，函数f(m)|m|的最小值为，则|的最小值为_20关于曲线：的下列说法：关于原点对称；关于直线对称；是封闭图形，面积大于；不是封闭图形，与圆无公共点；与曲线：的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的序号是 【答案】：【提示】研究曲线：的图像，与坐标轴没有交点，不是封闭图形，且 时，；时，作出草图即
