《小专题数形结合思想(教育精品)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小专题数形结合思想(教育精品)(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、数 形 结 合 在高考题中,数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上,把图象作为工具、载体,以此寻求解题思路或制定解题方案,真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是选择、填空小题。数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质,是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化。“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化:数形结合思想解决的问题常有以下几种:(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;(2)构建函数模型并结合其图象研究方程
2、根的范围;(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系;(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式;(5)构建立体几何模型研究代数问题;(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;(7)构建方程模型,求根的个数;(8)研究图形的形状、位置关系、性质等1已知集合M,N(x,y)|ax2ya0,且MN,则a()A6或2 B6 C2或6 D2A解析 易知集合M中的元素表示的是过(2,3)点且斜率为3的直线上除(2,3)点外的所有点要使MN,则N中的元素表示的是斜率为3且不过(2,3)点的直线,或过(2,3)点且斜率不为3的直线,3或2a6a0,a6或a2
3、.2.,则a,b,c的大小关系是 ( )A B. C. D.3设a,bR,则“ab”是“a|a|b|b|”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件C解析 当ab0时,可得ab与a|a|b|b|等价当abb时a|a|0b|b|;反之,由a|a|b|b|知a0b,即ab.构造函数f(x)=x|x|利用单调性,画图易求42014安徽卷 若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3,则实数a的值为()A5或8 B1或5C1或4 D4或89D解析 当a2时,f(x)由图可知,当x时,fmin(x)f13,可得a8.当a0等价于0.根据题设作出f(x)的大致图像如图所示由
4、图可知,0的解集是(,2)(2,)7已知函数f(x)= , 若0x1x2 B = C D 前三个判断都不正确分析:从解析式上看函数与圆的方程有联系,可以转化为圆,画出图形,由数形结合得出结论。解:由函数得知的图象为圆的上半圆,如图,当0x1x2 ,故选A评注:对于函数的图象要熟悉,利用数形结合解答函数的选择题比较形象直观,容易找到关系。8函数f(x)=Msin(x+)(0)在区间a,b上是增函数,且f(x)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(x+)在区间a,b上()A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值M D.可以取得最小值解析:由于是选择题,可用特殊值法,构造一个特殊函数
5、,并通过画出图象进行观察.取M=1,=1,=0,则f(x)=sinx,g(x)=cosx,在同一坐标系中作出它们的图象,如图所示,从图象中不难看出,在区间,上,即a=,b=时,f(x)=-M=-1,f(b)=M=1,g(x)=cosx这时取得最大值M=1.点拨:这是一道运用图象研究函数性质的典型题目,由于此题是选择题,取M、的特殊值,减化了思维过程,如果此题是一个解答题,则可用换元法,设t=x+,0,t是x的增函数,再根据y=Msint,y=Mcost的图象去分析.9.设函数f(x)=1/x的图象与g(x)=ax2+bx图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是( )A.当时, B. 当
6、时,C. 当时, D. 当时,解析:B;在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当时,要想满足条件,则有如图,做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为,由图象知即,同理当时,则有,故答案选B.另法:,则方程与同解,故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样,必须且只须或,因为,故必有由此得.不妨设,则.所以,比较系数得,故.,由此知,故答案为B.点评:数学中考查创新思维,要求必须要有良好的数学素养,考查新定义函数的理解、解绝对值不等式,中档题,借形言数。10(2014课标全国,理10)已知抛物线C:y28x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点若,则|QF|()A B3 C
7、D211已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)(|xa2|x2a2|3a2)若xR,f(x1)f(x),则实数a的取值范围为()A. B. C. D.B解析 因为当x0时,f(x),所以当0xa2时,f(x)x;当a2x0,0)若f(x)在区间上具有单调性,且fff,则f(x)的最小正周期为_14解析 结合图像得,即T.142014浙江卷 当实数x,y满足时,1axy4恒成立,则实数a的取值范围是_13.解析 实数x,y满足的可行域如图中阴影部分所示,图中A(1,0),B(2,1),C.当a0时,0y,1x2,所以1axy4不可能恒成立;当a0时,借助图像得,当直线zaxy过
8、点A时z取得最小值,当直线zaxy过点B或C时z取得最大值,故解得1a.故a.15设正项等差数列an的前n项和为Sn,若S410,S515,求a4的最大值.解 设等差数列的首项为a1,公差为d, 则S4=4a1+6d10,即2a1+3d5, S5=5a1+10d15,即a1+2d3.又a4=a1+3d, 因此求a4的最值可转化为在线性约束条件 限制之下的线性目标函数的最值问题, 作出可行域,如图 可知当a4=a1+3d,经过点A(1,1)时有最大值4.16(浙江,理17)若,且当时,恒有,则以,b为坐标点P(,b)所形成的平面区域的面积等于_。OABxy分析:本小题主要考查线性规划的相关知识,
9、可考虑特殊情形,比如x0,可得a1;y0可得b1.所以猜测a介于0和1之间,b介于0和1之间。解:不等式组表示的平面区域为,如图,由恒成立知,当时,恒成立,当成立;当时,恒成立,;同理,以,b为坐标点P(,b)所形成的平面区域是一个正方形,所以面积为1。答案:1评注:线性规划的相关知识要画出图形,借助图形解答。另外对于恒成立问题,对个例一定成立,还要转为函数的最值。17已知且,则的最大值为 【答案】:【提示】令,这时问题转化为:,求的最值y04x18(2012高考真题浙江理17)设aR,若x0时均有(a1)x1( x 2ax1)0,则a_ 解析:本题按照一般思路,则可分为一下两种情况:(A),
10、 无解;(B), 无解因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题其实在x0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负(如下答图)我们知道:函数y1(a1)x1,y2x 2ax1都过定点P(0,1)考查函数y1(a1)x1:令y0,得M(,0),还可分析得:a1;考查函数y2x 2ax1:显然过点M(,0),代入得:,解之得:,舍去,得答案:点评:数形结合的思想方法,是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点,有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。19(2014温州十校联考)在ABC中,ACB为钝角,ACBC1,xy且xy1,函数f(m)|m|的最小值为,则|的最小值为_20关于曲线:的下列说法:关于原点对称;关于直线对称;是封闭图形,面积大于;不是封闭图形,与圆无公共点;与曲线:的四个交点恰为正方形的四个顶点,其中正确的序号是 【答案】:【提示】研究曲线:的图像,与坐标轴没有交点,不是封闭图形,且 时,;时,作出草图即