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1、例谈二阶导数在高考题中的应用福州高级中学高岚龙随着高等数学的知识在初等数学中的下放，在全国各地历年的高考题中，出现了越来越多具有高等数学背景的考题。尽管高考题的解法主要是基于高中所学的内容，但是，微积分中所蕴涵的数学思想和经典的数学处理方法，有助于我们对高考命题的认识和把握。作为一名中学数学老师，应该强化用微积分的观点去认识高中数学的意识，才能对高考命题有深刻、全面的理解。本文以几个例子说明二阶导数在高考题中的应用。一二阶导数与凸性定义设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点X与x,12xxf(x)f(x)恒有f七上，那么称f(X)在I上的图形是凹的；如果恒有f(警二)，f(Xi)；f(X
2、)，那么称f(x)在I上的图形是凸的；定理1设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，那么：(1)若在(a,b)内f(x)单调增加，则f(x)在a,b上的图形是凹的；(2)若在(a,b)内f(x)单调减少，则f(x)在a,b上的图形是凸的;定理2设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导，那么:(1)若在(a,b)内f(x),0，则f(x)在a,b上的图形是凹的;2)若在(a,b)内f(x)0)，f(x)的导函数是f(x)。对任意两个不相等的正数x、x，X12cf(x),f(x)“x,x、证明：()当a0时，八/2八2f(122)分析：本题实际上是要证明所考查的函数当a0时是一个凹函
3、数一个函数是凹函数的充分条件之一是该函数的二阶导数大于2a4a证明：f(x)2x+，f(x)2+当a0时，对x0，有f(x)0，由定理可知f(x)在(0,+)是凹函x2xx3x2f(x),f(x)x,x数，再由定义知对任意两个不相等的正数x、x，12f(12)1222二二阶导数与极值在高中，判断函数是否在x取得极值，经常是利用函数导数在x两侧的符号来判断。实际上，还可以利用二阶导数的符号来判断00x是否为函数的极值点。有如下的判定定理：0定理设函数f(x)在点x处具有二阶导数且f(x)=0，f(x)丰0，那么000()当f(x)0时，函数f(x)在x处取得极小值.000年8湖北文史类高考题，)已知函数f(x)=x3+mx2-m2x+1(m为常数，且m0)有极大值9.(I)求m的值；解：f(x)二3x2+2mx-m2二(3x-m)(x+m)，由f(x)二0得x=-m11f(x)二6x,2m，则f(3m)=4m0,f(-m)=-4m0。由定理知f(x)在x=m取得极大值，在x二3m取得极小值。则f(-m)=m3+1=9，则m=2。利用二阶导数的符号判断函数的极值点，可以避免列表的麻烦，在证明题中特别适用。
