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1、2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 8：009：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上1.设集合Aa1，a2，a3，a4，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B1，3，5，8，则集合A 解：显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次.所以3（a1a2a3a4）（1）35815.故a1a2a3a45.于是集合A的四个元素分别为5（1）6，532，550，583.因此则集合A3，0，2，6再由不等式中等号成立的条件，得ab1.4.如果cos5sin57（ sin3cos3），0，2），那么的取值范围是 解：不
2、等式cos5sin57（sin3cos3）等价于sin3sin5cos3cos5.又f（x）x3x5是（，）上的增函数，5现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲，乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 （用数字作答）解：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：所以满足题设要求的方案数为36001140015000.6在四面体ABCD中，已知ADBBDCCDA60，ADBD3，CD2，则四面体ABCD的外接球的半径为 解：设四边形ABCD的外接球球心为O，则O在过ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上.由题设知，ABD是正三角形
3、，则点N为ABD的中心.设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ONDP，OMCD.因为CDACDBADB 7直线x2y10与抛物线y24x交于A，B两点，C为抛物线上的一点，ACB90，则点C的坐标为 得y28y40.则y1y28，y1 y24.又x12y11，x22y21，所以x1x22（y1y2）218，x1x24 y1 y22（y1y2）11.即有（t2x1）（t2x2）（2ty1）（2ty2）0.即t4（x1x2）t2x1x24t22（y1y2）ty1 y20.即t414t216t30.即（t24t3）（t24t1）0.显然t24t10.否则t222t10.则点C在直线x2y
4、10上.从而点C与点A或点B重合.所以t24t30.解得t11，t23.故所求点C的坐标为（1，2）或（9，6）. 的个数为 .从而6|n4.同理可计算得86！中因数2的个数为82，114！中因数2的个数为110.92！中因数2的个数为88，108！中因数2的个数为105.因此，整数项的个数为14115.二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9（本小题满分16分）设函数f（x）|lg（x1）|，实数a，b a1b2或（a1）（b2）1.又ab，a1b2.（a1）（b2）1.4分又由f（a）lg（a1）有意义知0a1.从而0a1b1b2.于是0a11b2.所以
5、（10a6b21）110（a1）6（b2）10（本小题满分20分）已知数列an满足：a12t3（tR且t1，（1）求数列an的通项公式；（2）若t0，试比较an1与an的大小显然在t0（t1）时恒有an1an0.故an1an.20分（1）证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若APB60，求PAB的面积化简整理得2x26mx9m2360.从而，kPAkPB0.又P在直线l的左下方，因此APB的角平分线是平行于y轴的直线.15分20分2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：4012：10一、（本题满分40分）如图，P，Q分别是圆内接四边形AB
6、CD的对角线AC，BD的中点.若BPADPA，证明：AQBCQB. 证明：延长线段DP与交于另一点E，则CPEDPABPA.又Q为BD的中点，所以CQBDQF. 又AQBDQF，所以AQBCQB.40分二、（本题满分40分）证明：对任意整数n4，存在一个n次多项式f（x）xnan1xn1a1xa0具有如下性质：（1）a0 ，a1，an1均为正整数；（2）对任意正整数m，及任意k（k2）个互不相同的正整数r1，r2，rk，均有f（m）f（r1）f（r2）f（rk）证明：令f（x）（x1）（x2）（xn）2. 10分将的右边展开即知f（x）是一个首项为1的正整数系数的n次多项式.下面证明f（x）满
7、足性质（2）.对任意整数t，由于n4，故连续的n个整数t1，t2，tn中必有一个为4的倍数.从而由知f（t）2（mod 4）.20分因此，对任意k（k2）个正整数r1，r2，rk，有f（r1）f（r2）f（rk）2k0（mod 4）.但对任意正整数m，有f（m）2（mod4）.所以f（x）符合题设要求.40分三、（本题满分50分）设a1，a2，an（n4）是给定的正实数，的三元数组（i，j，k）的个数记为fn（r）.的三元数组（i，j，k）的个数记为gj（r）.10分注意到，若i，j固定则显然至多有一个k使得成立.因ij，即i有j1种选法.故gj（r）j1.同样地，若j，k固定，则至多有一个i
8、使得成立.因kj，即k有nj种选法.故gj（r）nj.从而gj（r）min j1，nj.30分因此，当n为偶数时，设n2m，则有当n为奇数时，设n2m1，则有四、（本题满分50分）设A是一个39的方格表，在每一个小方格内各填 一个正整数称A中的一个mn（1m3，1n9）方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数称A中的一个11的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”求A中“坏格”个数的最大值解：首先证明A中“坏格”不多于25个.用反证法.假设结论不成立，则方格表A中至多有1个小方格不是“坏格”.由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”.设方格表A第i行从上到下填的数依次为
9、ai，bi，ci，i1，2， 10分我们证明：三组数S0，S1，S9；T0，T1，T9及S0T0，ST，S9T9都是模10的完全剩余系.事实上，假如存在m，n，0mn9，使SmSn（mod10），则一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾.20分又假如存在m，n，0mn9，使TmTn（mod10），则即第2行至第3行，第m1列至第n列组成一个“好矩形”，从而至少有两个小方格不是“坏格”，矛盾.类似地，也不存在m，n，0mn9，使SmTmSnTn（mod10）.30分因此上述断言得证. 故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个.40分另一方面，构造如下一个39的方格表，可验证每个不填10的小方格
10、都是“坏格”，此时有25个“坏格”.11121111101111111111111011112综上所述，“坏格”个数的最大值是25.50分 螈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆螁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莇薁蚀羁肆莄薆羀腿蕿蒂罿莁莂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆薈羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃节芀薅肂羁蒅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈膈膀莄袆膇芃薀螂膆莅莃蚈膅膅薈蚄螂芇蒁薀螁荿蚆衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁螈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆螁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莇薁蚀羁肆莄薆羀腿蕿蒂罿莁莂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆薈羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃节芀薅肂羁蒅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈膈膀莄袆膇芃
11、薀螂膆莅莃蚈膅膅薈蚄螂芇蒁薀螁荿蚆衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁螈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆螁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莇薁蚀羁肆莄薆羀腿蕿蒂罿莁莂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆薈羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃节芀薅肂羁蒅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈膈膀莄袆膇芃薀螂膆莅莃蚈膅膅薈蚄螂芇蒁薀螁荿蚆衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁螈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆螁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莇薁蚀羁肆莄薆羀腿蕿蒂罿莁莂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆薈羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃节芀薅肂羁蒅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈膈膀莄袆膇芃薀螂膆莅莃蚈膅膅薈蚄螂芇蒁薀螁荿蚆衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁螈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆螁袆芈艿螇袅莀
12、薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莇薁蚀羁肆莄薆羀腿蕿蒂罿莁莂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆薈羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃节芀薅肂羁蒅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈膈膀莄袆膇芃薀螂膆莅莃蚈膅膅薈蚄螂芇蒁薀螁荿蚆衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁螈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆螁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莇薁蚀羁肆莄薆羀腿蕿蒂罿莁莂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆薈羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃节芀薅肂羁蒅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈膈膀莄袆膇芃薀螂膆莅莃蚈膅膅薈蚄螂芇蒁薀螁荿蚆衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁螈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆螁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莇薁蚀羁肆莄薆羀腿蕿蒂罿莁莂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆薈羅莈
13、蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃节芀薅肂羁蒅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈膈膀莄袆膇芃薀螂膆莅莃蚈膅膅薈蚄螂芇蒁薀螁荿蚆衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁螈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆螁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莇薁蚀羁肆莄薆羀腿蕿蒂罿莁莂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆薈羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃节芀薅肂羁蒅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈膈膀莄袆膇芃薀螂膆莅莃蚈膅膅薈蚄螂芇蒁薀螁荿蚆衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁螈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆螁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莇薁蚀羁肆莄薆羀腿蕿蒂罿莁莂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆薈羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃节芀薅肂羁蒅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈膈膀莄袆膇芃薀螂膆莅莃蚈膅膅薈蚄螂芇蒁薀螁荿蚆衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁螈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆螁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莇薁蚀羁肆莄薆羀腿蕿蒂罿莁莂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆薈羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃节芀薅肂羁蒅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈膈膀莄袆膇芃薀螂膆莅莃蚈膅膅薈蚄螂芇蒁薀螁荿蚆衿螀聿葿螅蝿膁蚅蚁螈芄蒈薇袇莆芀袅袇肆蒆螁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂袈袂芄莅螄袁莇薁蚀羁肆莄薆羀腿蕿蒂罿莁莂袁羈肁蚇螇羇膃蒀蚃羆芅蚆薈羅莈蒈袇肅肇芁螃肄膀蒇虿肃节芀薅肂羁蒅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈
